Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}BC$ đôi một vuông góc và $SA = AB = BC = 1.$ Khoảng cách giữa hai điểm $S$ và $C$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Do $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot BC\end{array} \right.$ nên $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC$

Như vậy \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt 3 \)

Câu 2 Trắc nghiệm

Cho tứ diện $SABC$ trong đó$SA$, $SB$, $SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và$SA = 3a$, $SB = a$,$SC = 2a$. Khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

+ Dựng $AH \bot BC$ $ \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}AS \bot \left( {SBC} \right) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC\\AH \bot BC\end{array} \right.$, $AH$cắt $AS$ cùng nằm trong $\left( {SAH} \right)$.

$ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH$.

Xét trong $\Delta SBC$ vuông tại $S$ có $SH$ là đường cao ta có:

$\dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{S{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{5}{{4{a^2}}}$ $ \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{{4{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}$.

+ Ta dễ chứng minh được $AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH$ $ \Rightarrow \Delta ASH$ vuông tại $S$.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho $\Delta ASH$ vuông tại $S$ta có:

$A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5} = \dfrac{{49{a^2}}}{5}$ $ \Rightarrow AH = \dfrac{{7a\sqrt 5 }}{5}$.

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $A.BCD$ có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$ và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC = a\sqrt 2 $ và $M$ là trung điểm của $BD$. Khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $AM$ bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Dựng $CH \bot AM \Rightarrow d\left( {C,AM} \right) = CH$ .

Vì $\Delta BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ và $M$ là trung điểm của $BD$ nên dễ tính được $CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta ACM$ vuông tại $C$ có $CH$ là đường cao, ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{A^2}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{{11}}{{6{a^2}}}\\ \Rightarrow C{H^2} = \dfrac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow CH = a\sqrt {\dfrac{6}{{11}}} \end{array}$ 

Câu 4 Trắc nghiệm

Hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a,$ cạnh bên bằng $2a$. Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), khoảng cách từ $S$ đến \(AH\) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Gọi \(O\) là chân đường cao của hình chóp nên \(O\) là tâm tam giác đáy.

Do đó \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) hay \(O \in AH\)

Ta có \(AO = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

${\rm{d}}\left( {S,AH} \right) = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = a$

Câu 5 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $A.BCD$có cạnh $AC \bot \left( {BCD} \right)$và $BCD$ là tam giác đều cạnh bằng $a$. Biết $AC = a\sqrt 2 $, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BD$ bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\CM \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot AM$ (Định lý 3 đường vuông góc) $ \Rightarrow d\left( {A;BD} \right) = AM$.

$CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (vì tam giác $BCD$  đều).

Ta có: $AM = \sqrt {A{C^2} + M{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}$.

Câu 6 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $S.ABCD$có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\hat B = 60^\circ $. Biết $SA = 2a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $SC$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

 

Kẻ $AH \bot SC$, khi đó $d\left( {A,SC} \right) = AH$.

$ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$ và $\hat B = 60^\circ  \Rightarrow \Delta ABC$ đều nên $AC = a$.

Trong tam giác vuông $SAC$ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 a}}{5}$.

Câu 7 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a$, $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$, tính khoảng cách từ $O$ đến $SC$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Kẻ $OH \bot SC$, khi đó $d\left( {O,SC} \right) = OH$. Ta có: $\Delta SAC \sim \Delta OHC(g-g)$ nên $\dfrac{{OH}}{{SA}} = \dfrac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \dfrac{{OC}}{{SC}}.SA$.

Mà: $OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 6 $

Vậy $OH = \dfrac{{OC}}{{SC}}.SA = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Câu 8 Trắc nghiệm

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng $\alpha $. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

$SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Kẻ $OH \bot SD$, khi đó $d\left( {O;SD} \right) = OH,\alpha  = \widehat {SDO}$

$OD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ $ \Rightarrow OH = OD\sin \alpha  = \dfrac{{a\sqrt 2 \sin \alpha }}{2}$.

Câu 9 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA$, $AB$, $BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA = 3a$, $AB = a\sqrt 3 $, $BC = a\sqrt 6 $. Khoảng cách từ $B$ đến $SC$ bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Vì $SA,AB,BC$ vuông góc với nhau từng đôi một nên $CB \bot SB$.

Kẻ $BH \bot SC$, khi đó $d\left( {B;SC} \right) = BH$.

Ta có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}}  = 2\sqrt 3 a$.

Trong tam giác vuông $SBC$ ta có:

$\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \dfrac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }} = 2a$.

Câu 10 Trắc nghiệm

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ đỉnh \(A\) của hình lập phương đó đến đường thẳng \(CD'\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi $M$ là trung điểm của $CD'$. Do \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên tam giác $ACD'$là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \).

$AM \bot CD' \Rightarrow d\left( {A,CD'} \right) = AM = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Câu 11 Trắc nghiệm

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a.\) Khoảng cách từ đỉnh \(A\) của hình lập phương đó đến đường thẳng \(DB'\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi $H$là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $DB'$.

Dễ thấy $AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow \Delta ADB'$vuông đỉnh $A$.

Lại có $AD = a;AB' = a\sqrt 2  \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{AB{'^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Câu 12 Trắc nghiệm

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo \(AC'\) bằng nhau ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Dễ thấy các tam giác $ABC',C'CA,ADC'$ là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền cũng bằng nhau.

Vậy: $d\left( {B,AC'} \right) = d\left( {C,AC'} \right) = d\left( {D,AC'} \right)$