Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Các đáp án A, B, C đúng.

Đáp án D sai vì có thể xảy ra trường hợp \(b\) nằm trong \(\left( P \right)\).

Vì \(H\) là trung điểm của \(AB\), tam giác \(ABC\) cân suy ra \(CH \bot AB.\)

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CH\) mà \(CH \bot AB\) suy ra \(CH \bot \left( {SAB} \right).\)

Mặt khác \(AK \subset \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow \,\,CH\) vuông góc với các đường thẳng \(SA,\,\,SB,\,\,AK.\)

Và \(AK \bot SB\) chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác \(SAB\) cân tại \(S.\)

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Vì \(SA = SC\,\,\, \Rightarrow \)\(\Delta SAC\) cân tại \(S\) mà \(O\) là trung điểm \(AC\,\, \Rightarrow \,\,SO \bot AC.\)

Tương tự, ta cũng có \(SO \bot BD\) mà \(AC \cap BD = O \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow \) tam giác \(ABD\) vuông tại \(B.\)

Lại có \(BC \bot CD\) nên tam giác \(BCD\) vuông tại \(C.\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}\\B{D^2} = B{C^2} + C{D^2}\end{array} \right. \Rightarrow A{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} \Rightarrow AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AB \bot \left( {BCD} \right)\,\, \Rightarrow \) tam giác \(ABD\) vuông tại \(B.\)

Suy ra \(IA = IB = ID = \dfrac{{AD}}{2},\) với \(I\) là trung điểm của \(AD.\)   \(\left( 1 \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CD\\BC \bot CD\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,CD \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,\)tam giác \(ACD\) vuông tại \(C.\)

Suy ra \(EA = EC = ED = \dfrac{{AD}}{2},\) với \(E\) là trung điểm của \(AD.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(I \equiv E \equiv O\) nên trung điểm của cạnh \(AD\) cách đều \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D.\)

Do \(SA = SB = SC\) nên \(HA = HB = HC\). Suy ra \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(H\) là trung điểm của \(AC\).

Do SH\(\bot\) (ABC) nên \(SH\bot HA, SH\bot HB, SH\bot HC\).

Xét các tam giác vuông SHA, SHB, SHC có:

SA=SB=SC

SH chung

Do đó \(\Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH\)

Suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm BC hay H là trung điểm của BC.

Do đó $\left( SBH \right) \equiv \left( SCH \right)$ nên A sai.

Lại có $\left( SAH \right)\cap ~\left( SBH \right)\text{ }=\text{ }SH$ và $\left( {SAH} \right) \cap \left( {SCH} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}SH$ nên B và D đều đúng.

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AB\) nên C đúng.

Vì hình chóp$S.ABCD$ có $SA = SB = SC = SD$ và \(H\) là hình chiếu của ${\rm{S}}$ lên mặt đáy $ABCD$ nên \(H\) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác\(ABCD\)

Suy ra \(HA = HB = HC = HD\).

Nên đáp án B sai vì hình bình hành không nội tiếp được đường tròn.

Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $ABC$ \( \Rightarrow AA' \bot BC\) mà

\(BC \bot SA\) nên \(BC \bot SA' \Rightarrow A' \in SK\) (vì \(K\) là trực tâm của tam giác)

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu của $S$ lên các cạnh \(AB,BC,AC\)

\( \Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow \Delta SMH = \Delta SNH = \Delta SPH.\)

\( \Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow \) \(H\) là tâm dường tròn nội tiếp của \(\Delta ABC.\)

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'D \bot AD'{\rm{                  }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'D \bot C'D'{\rm{    }}\left( {C'D' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow A'D \bot \left( {AC'D'} \right) \Rightarrow A'D \bot AC'{\rm{   }}\left( 1 \right)$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'B \bot AB'{\rm{                      }}\left( \text{t/c hình vuông} \right)}\\{A'B \bot B'C'{\rm{    }}\left( {B'C' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'{\rm{   }}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AC' \bot \left( {A'BD} \right)$

Ta có: $SA = SC \Rightarrow SAC$ là tam giác cân

Mặt khác: $O$ là trung điểm của $AC$ (tính chất hình thoi)

Khi đó ta có: $AC \bot SO$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD{\rm{     }}\left( \text{tính chất hình thoi} \right)}\\{AC \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC{\rm{     }}\left( {t/c{\rm{ HV}}} \right)}\\{BD \bot SA{\rm{      }}\left( {gt} \right){\rm{         }}}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AM$

Gọi $O = AC \cap BD,I = SO \cap HK$

$\left( P \right)$ là mặt phẳng $A$ và vuông góc với $SC$

Qua $I$ kẻ $\Delta \parallel BD \Rightarrow \Delta  \bot AM \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)$

Khi đó: $K = \Delta  \cap SD,H = \Delta  \cap SB$

Ta có: $AK \bot \left( {SDC} \right)$, mà $HK \cap \left( {SDC} \right) = K \Rightarrow AK$ không vuông góc với $HK$.

Ta có :

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AD}\\{AB \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot SD$

Giả sử $SB \bot SD \Rightarrow SD \bot \left( {SAB} \right)$ (vô lý)

Rõ ràng \(SB\) và \(BD\) không vuông góc, \(SD,BD\) không vuông góc.

Hay $\Delta SBD$ không thể là tam giác vuông.