Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Thể tích mực nước ban đầu là: ${V_1} = \pi r_1^2{h_1} = \pi {.5,4^2}.4,5$

Gọi $R$ là bán kính của viên bi ta có sau khi thả viên bi vào cốc, chiều cao của mực nước bằng $2R,$ do đó tổng thể tích của nước và bi sau khi thả viên bi vào trong cốc là: $V = \pi r_1^2.\left( {2R} \right) = \pi {.5,4^2}.2R$

Thể tích của quả cầu là: ${V_{\left( C \right)}} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Ta có: $V = {V_1} + {V_2} \Leftrightarrow {5,4^2}.4,5 + \dfrac{4}{3}{R^3} = {5,4^2}.2R$

Giải phương trình trên với điều kiện $R < 4,5 \Rightarrow R = 2,7\;cm.$

Tứ diện đều $ABCD$ có cạnh đều bằng $2$ (do $BC = BM + MC = 1 + 1 = 2$).

Tam giác $ACD$ đều, cạnh bằng $2$ => Chiều cao $AN = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3$

Tam giác $BCD$ đều, cạnh bằng $2$, $I$ là trọng tâm

=> $IN = \dfrac{1}{3}BN = \dfrac{1}{3}.\sqrt 3  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác $AIN$ vuông tại $I,$ theo Pytago ta có: $AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{8}{3}}  = \dfrac{{\sqrt {24} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$

Vậy, khoảng cách từ $O$ đến mặt bàn bằng $OJ = OA + AI + IJ = 1 +$ $\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$ $+ 1 =$ $\dfrac{{6 + 2\sqrt 6 }}{3}$

Đường kính đường tròn đáy của một viên phấn là $d = 2r = 2.\dfrac{1}{2} = 1(cm)$  .

Chiều rộng của hộp là $5cm$ $\Rightarrow$ Xếp được tối đa $5$ viên phấn theo chiều rộng.

Chiều dài của hộp là $30cm$  $\Rightarrow$ Xếp được tối đa $30$ viên phấn theo chiều dài.

Như vây, có thể xếp được tối đa $5 \times 30 = 150$  viên phấn vào hộp.

Ta thấy: $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}$ nên các đỉnh $A,B$ luôn nhìn cạnh $SC$ một góc ${90^0}$. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm $SC$.

Ta có: $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Tam giác $SOC$ vuông tại $O$ nên $S{C^2} = S{O^2} + O{C^2} \Rightarrow h = SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}}$

Vậy $R = \dfrac{{{b^2}}}{{2h}} = \dfrac{{{b^2}}}{{2\sqrt {{b^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} }}$

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}}$, với $r$ là bán kính đường tròn đáy, $h$ là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).

Công thức tính diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi $I\left( {a;a;a} \right)$ là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và $R = a.$

$\Rightarrow$ phương trình mặt cầu của quả bóng là

$\left( S \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} + {\left( {z - a} \right)^2} = {a^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right)$ nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho $d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = 1,\,\,d\left( {M;\left( {Oyz} \right)} \right) = 2,\,\,d\left( {M;\left( {Oxz} \right)} \right) = 3$

Khi đó $z = 1;\,\,x = 2;\,\,y = 3\,\, \Rightarrow \,\,M\left( {2;3;1} \right) \in \left( S \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra ${\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - a} \right)^2} = {a^2}$

$\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}{R_1} = {a_1} = \dfrac{{7 - \sqrt 7 }}{2}\\{R_2} = {a_2} = \dfrac{{7 + \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \,\,{d_1} + {d_2} = 2\left( {{R_1} + {R_2}} \right) = 14.$

Ta có: thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{{3V}}{{4\pi }}}}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông $S.ABC$ được tính theo công thức

$R = \sqrt {\dfrac{{S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}$

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.$.

Mà $AB \bot AC$ nên hình chóp $S.ABC$ là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được $R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}$ 

Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC \Rightarrow MNPQ$ là hình vuông suy ra

$PN = MQ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6};NB = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R = PB = \sqrt {P{N^2} + N{B^2}}  = \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}$

Thể tích $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}$

Do $D$ đối xứng với $C$ qua $B$ nên có $BC = DC = AC$ suy ra tam giác $ABD$ là tam giác vuông tại $A$.

Kẻ đường thẳng $d$ qua $C$ vuông góc với đáy, đường thẳng này là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy $ABD$ .

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ , gọi $M$ là trung điểm $AB,H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$

 $\Rightarrow H \in SM;SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}$

$SH = \dfrac{{AB.SA.SB}}{{4.{S_{SAB}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}.a}}{{4.\dfrac{1}{2}.a.AM}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}$

Trong $\left( {SAC} \right)$  dựng$HI \bot SM\left( {I \in d} \right)(1)$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SM\\AB \bot MC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SMC} \right) \Rightarrow AB \bot HI(2)$

Từ (1), (2) suy ra $HI \bot \left( {SAB} \right)$ , suy ra $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp $S.ABD$

Gọi $Q = MS \cap CI$, xét tam giác $SCM$ có

$\dfrac{{SM}}{{QM}} = \dfrac{{MG}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}$ $\Rightarrow QM = 3SM = 3.\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2}$

$\Rightarrow QH = QM - MS + HS$ $= \dfrac{{a\sqrt {39} }}{2} - \dfrac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }} + \dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{{17a}}{{\sqrt {39} }}$

$QC = \sqrt {Q{M^2} - M{C^2}}  = 3a$

Xét: $\Delta QHI \sim \Delta QCM \Rightarrow \dfrac{{HI}}{{CM}} = \dfrac{{HQ}}{{QC}}$ $\Rightarrow HI = \dfrac{{HQ.CM}}{{QC}} = \dfrac{{17a}}{{6\sqrt {13} }}$

$\Rightarrow R = SI = \sqrt {H{I^2} + H{S^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {17} }}{{6\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{4a}}{{\sqrt {39} }}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{6}$

Gọi $H$ là tâm tam giác đều $BCD,E$ là trung điểm $CD$

Ta có $AH \bot \left( {BCD} \right)$

Gọi $I,r$ là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện $ABCD$ thì $I$ là giao của $AH$ và phân giác góc $AEB$ của $\Delta AEB$. Ta có

$\begin{array}{l}AE = BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};HE = \dfrac{{BE}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\\AH = \sqrt {A{E^2} - H{E^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\end{array}$

Áp dụng tính chất đường phân giác:

$\begin{array}{l}\dfrac{{IH}}{{IA}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{IH + IA}} = \dfrac{{EH}}{{EH + EA}}\\ \Rightarrow r = IH = \dfrac{{EH.AH}}{{EH + EA}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\end{array}$

Gọi $O$ là tâm hình chữ nhật $ABCD,M$ và $I$ lần lượt là trung điểm $SA,SC \Rightarrow AOIM$ là hình chữ nhật.

Ta có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD,OI \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OI$ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$

$IM \bot SA \Rightarrow IM$ là trung trực $SA$ trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$

$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Có $OI = AM = \dfrac{{SA}}{2} = a;OC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Bán kính và thể tích mặt cầu lần lượt là

$\begin{array}{l}R = IC = \sqrt {I{O^2} + O{C^2}}  = \dfrac{{3a}}{2}\\V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{9\pi {a^3}}}{2}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}A'B' = AB = a\\B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \\B'C = \sqrt {B'C{'^2} + C'{C^2}}  = \sqrt {2{a^2} + 2{a^2}}  = 2a\\A'C = \sqrt {A'C{'^2} + C'{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow A'B{'^2} + A'{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} = B'{C^2}\end{array}$

$\Rightarrow \Delta A'B'C$ vuông tại $A'$.

Gọi $I$ là trung điểm của $B'C$ thì $IB' = IC = IA'$

Mà $\Delta CC'B'$ vuông tại $C'$ nên $IB' = IC = IC'$

Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $CA'B'C'$ và bán kính $R = \frac{1}{2}B'C = a$.

$\Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2}$.

Gọi $AA'$  là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

$AC \bot A'C;\,AB \bot A'B$

Ta chứng minh $AC' \bot A'C'$

$SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'$

Mà $AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'$

Tương tự $AB' \bot A'B'$

Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$  bằng $1$  góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$  mặt cầu có đường kính là $AA'$  và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính $BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha }$

Trong tam giác $ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$

Áp dụng công thức trên có $R = \dfrac{3}{2}$

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh $a$

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt 6$

Thể tích tứ diện đều đó là $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 8\sqrt 3$

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh $a$ có bán kính bằng $\dfrac{a}{2}$

Diện tích mặt cầu đó là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}$