Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

Ta có $y' = {x^3} + x$

$ \Rightarrow $ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=-1$ là $k = y'( - 1) =  - 2$ 

Bước 1:  Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là $A\left( {0;2} \right).$

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 2.$

Ta có $y' =  - 6{x^2} + 4 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 4.$ Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 4x + 2.$

Ta có: $y' =  - 4{{\text{x}}^3} + 12{\text{x}}$$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt 3 $ hoặc $x =  - \sqrt 3 $

Ta có bảng biến thiên

Quan sát bảng biến thiên ta thấy tiếp điểm là $(0;-5)$ và $y'(0)=0$.

Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $y =  - 5$

Giả sử $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ $O$

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4{\text{x}}$

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

$y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$ \Leftrightarrow y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2$

Thay $\left( {0;0} \right)$ vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow  - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  \pm \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Tiếp tuyến $(d)$ song song với đường thẳng $y =  - 2x + 5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y' =  - 2$ hay ${x^2} - 4x + 1 =  - 2 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$ $ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x = 1,y = \dfrac{4}{3} \hfill \\x = 3,y =  - 4 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Với $x = 1;y = \dfrac{4}{3}$ thì ${d_1}:y =  - 2\left( {x - 1} \right) + \dfrac{4}{3}$  hay ${d_1}:y =  - 2x + \dfrac{{10}}{3}$

Với $x = 3;y =  - 4$ thì ${d_2}:y =  - 2\left( {x - 3} \right) - 4$ hay ${d_2}:y =  - 2x + 2$

\(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm m.\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm, hay \(m \ne 0\).

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ \(A\left( {0;\,\,{m^4} + 3} \right)\); \(B\left( {m;3} \right)\);\(C\left( { - m;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC} \left( { - m; - {m^4}} \right);\,\,\overrightarrow {OC} \left( { - m;3} \right)\)

Tứ giác \(OBAC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\OB = OC\end{array} \right.\).

Suy ra \(OA\) là đường trung trực của \(BC\).

Để tứ giác \(OBAC\) nội tiếp đường tròn thì điểm \(B\), \(C\) phải nhìn cạnh \(OA\) dưới góc \(90^\circ .\)

Khi đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {OC}  = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3{m^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0:L\\m =  \pm \sqrt {\dfrac{1}{3}} :T/m\end{array} \right.\).

Ta có: $y' = 6{{\text{x}}^2} - 12{\text{x}} + 18$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có hệ số góc $k = y'\left( {{x_0}} \right)$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 12x$ nên:

$k = 12 \Leftrightarrow 6x_0^2 - 12{x_0} + 18 = 12 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 15$$ \Rightarrow y = 12\left( {x - 1} \right) + 15 \Rightarrow y = 12x + 3$

Vậy $a = 12,b = 3 \Rightarrow a + b = 15$

Đối với hàm số $y = \dfrac{{5x + 1}}{{x + 1}}$thì $y' = \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ thì $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 4x + 1 =  > y' = {x^2} + 2x + 4 = {(x + 1)^2} + 3 > 0,\forall x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số $y = \dfrac{1}{{x + 1}}$: Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: $A(0;1)$

Có $y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\,\forall x \ne 1 \Rightarrow y'\left( 0 \right) < 0$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại $A$ có hệ số âm.

Xét hàm số: $y = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 2$ trên $R$ 

Có $y' = 3{x^2} - 6x + 5 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \geqslant 2.$ 

Dấu “=” xảy ra $x = 1.$

Với $x = 1 \Rightarrow y = 1.$

Vậy đường thẳng cần tìm là: $y - 1 = 2\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 2x - 1.$

Đường tròn \(\left( \gamma  \right):\,{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {0;\,1} \right)\), \(R = 2\)

Ta có \(A\left( {1;\,1 - m} \right)\); \(y' = 4{x^3} - 4mx \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4m\)

Suy ra phương trình \(\Delta \): \(y = \left( {4 - 4m} \right)\left( {x - 1} \right) + 1 - m\).

Dễ thấy \(\Delta \) luôn đi qua điểm cố định $F\left( {\dfrac{3}{4};\,0} \right)$ và điểm $F$ nằm trong đường tròn \(\left( \gamma  \right)\)

Giả sử \(\Delta \) cắt \(\left( \gamma  \right)\) tại \(M\), \(N\). Thế thì ta có: \(MN = 2\sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\,\Delta } \right)}  = 2\sqrt {4 - {d^2}\left( {I;\,\Delta } \right)} \)

Do đó \(MN\) nhỏ nhất $ \Leftrightarrow d\left( {I;\,\Delta } \right)$ lớn nhất $ \Leftrightarrow d\left( {I;\,\Delta } \right) = IF$$ \Rightarrow \Delta  \bot IF$

Khi đó đường \(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương $\vec u \bot \overrightarrow {IF}  = \left( {\dfrac{3}{4};\, - 1} \right)$; \(\vec u = \left( {1;\,\,4 - 4m} \right)\) nên ta có:

$\overrightarrow u .\overrightarrow {IF}  = 0 \Leftrightarrow 1.\dfrac{3}{4} - \left( {4 - 4m} \right) = 0$$ \Leftrightarrow m = \dfrac{{13}}{{16}}$

Gọi \(A\left( {{x_0};\;{y_0}} \right) \in \left( C \right).\)

Khi đó tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại $A$ cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;N\left( {{x_2};\;{y_2}} \right)\;\;\left( {M,\;N \ne A} \right)\) có hệ số góc là: \(k = \dfrac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 4.\)

Mặt khác: \(k = f'\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow 4 = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{{14}}{3}x \Leftrightarrow x_0^3 - 7{x_0} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\{x_0} =  - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right..\)

Kiểm tra lại từng trường hợp $x_0=-2;-1;3$ ta thấy trường hợp $x_0=3$ thì tiếp tuyến chỉ có duy nhất $1$ điểm chung với đồ thị nên loại.

Vậy có $2$ giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Giả sử $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm sao cho tiếp tuyến $\left( \Delta  \right)$ tại đó có hệ số góc nhỏ nhất là $k$.

\( \Rightarrow \left( \Delta  \right):y = y'\left( a \right).(x - a) + b\)

Do \({k_{\min }} \Rightarrow \left( {3{a^2} - 2a} \right)\min \)

Xét \(3\left( {{a^2} - 2.\dfrac{1}{3}a + \dfrac{1}{9}} \right) = 3{\left( {a - \dfrac{1}{3}} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 3{a^2} - 2a + \dfrac{1}{3} \ge 0 \Leftrightarrow 3{a^2} - 2a \ge \dfrac{{ - 1}}{3}\)

\( \Rightarrow k =  - \dfrac{1}{3}\)khi \(a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow b = \dfrac{{25}}{{27}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}} =  - 2x + m$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\\left( {x + 2} \right)\left( {2x - m} \right) + 2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 2\\2{x^2} - \left( {m - 6} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{      (1)}}\end{array} \right.$

Đường thẳng $d:y =  - 2x + m$ cắt $(H)$ tại hai điểm phân biệt

$ \Leftrightarrow $ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $ - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 6} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 6} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right. (*)$

Khi đó ${x_A},{\rm{ }}{x_B}$ là 2 nghiệm phân biệt của (1) $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_A}{x_B} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.(2)$

Ta có $y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow {k_1} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 2} \right)}^2}}},{\rm{ }}{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_B} + 2} \right)}^2}}}$

$ \Rightarrow {k_1}{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left[ {2\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + {x_A}{x_B} + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {m - 6 + \dfrac{{3 - 2m}}{2} + 4} \right)}^2}}} = 4$

$ \Rightarrow P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2\sqrt {k_1^{2018}k_2^{2018}}  = 2\sqrt {{4^{2018}}} .$

Dấu $''=''$ xảy ra $ \Leftrightarrow {k_1} = {k_2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_B} + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} + 2 = {x_B} + 2\\{x_A} + 2 =  - \left( {{x_B} + 2} \right)\end{array} \right.(3)$

Do $\left\{ \begin{array}{l}A \ne B\\A,{\rm{ }}B \in \left( H \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_A} \ne {x_B}$ nên (3) $ \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} =  - 4.$

Kết hợp với (2) ta được $\dfrac{{m - 6}}{2} =  - 4 \Leftrightarrow m =  - 2$ thỏa mãn (*).

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4\left( {m + 1} \right)x$$ \Rightarrow y'\left( 1 \right) =  - 4m$

Vì tiếp tuyến $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ nên \(k.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 4 = y'\left( 1 \right) =-4m\)

Vậy $m$ thỏa mãn đề bài là  $m =  - 1$

Gọi ${M_1}\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right);$ ${M_2}\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ là hai tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có cùng hệ số góc.

Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9$

Khi đó $k = 3x_1^2 + 12{x_1} + 9 = 3x_2^2 + 12{x_2} + 9$$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} =  - 4 = S$$\left( 1 \right)$

Hệ số góc của đường thẳng ${M_1}{M_2}$ là

$k' =  \pm \dfrac{{OB}}{{OA}} =  \pm \dfrac{1}{{2017}} = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}$

$ \Leftrightarrow  \pm \dfrac{1}{{2017}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} + 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = \dfrac{{2016}}{{2017}} = P\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2018}}{{2017}} = P\end{array} \right.$$\left( 2 \right)$

Với $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4 = S\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2016}}{{2017}} = P\end{array} \right.$, do ${S^2} > 4P$ nên $\exists $ hai cặp ${x_1},$${x_2}$$ \Rightarrow $$\exists $$1$ giá trị $k$

Với $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4 = S\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{2018}}{{2017}} = P\end{array} \right.$, do ${S^2} > 4P$ nên $\exists $ hai cặp ${x_1},$${x_2}$$ \Rightarrow $$\exists $$1$ giá trị $k$

KL: Có $2$ giá trị $k$

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $(C)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại điểm $M$ là: $\Delta :\,\,y = y'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_o}} \right) + \dfrac{{2{x_o} - 1}}{{{x_o} - 1}}$

Gọi $A\left( {{x_A};0} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Ox$; $B\left( {0;{y_B}} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Oy$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}{x_A} = 2x_o^2 - 2{x_o} + 1 \hfill \\  {y_B} = \dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

$ \Rightarrow $ tam giác $OAB$ cân tại $O$

$ \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow \left| {{x_A}} \right| = \left| {{y_B}} \right|$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = \left| {\dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = 0\\1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {{x_o} - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 0\left( {tm} \right)\\{x_o} = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có hai điểm $M$ là: $M\left( {0;1} \right)$ và $M\left( {2;3} \right)$

Ta có: $y' = {x^2} - 2mx - 6m$.

Gọi điểm $M(x;y)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} - 6mx - 9m + 12 \Leftrightarrow  - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right).m + \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0 \\ \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^2} = 0 \\ \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó $M\left( { - 3;3} \right)$ là điểm cố định thuộc đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$.

$ \Rightarrow y'\left( { - 3} \right) = 9$

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ tại $M$ là:$y = 9\left( {x + 3} \right) + 3 = 9x + 30$

Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ 

Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U\left( -2;1 \right)$

Xét đường thẳng $d$ đi qua $U\left( -2;1 \right)$ có phương trình $y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1$ hay $y = {k_d}x + 2{k_d} + 1$

$d$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)$

$OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} =  - \dfrac{1}{2}$

Nếu ${k_d} =  - \dfrac{1}{2}$ thì $y =  - \dfrac{1}{2}x$ nên $A \equiv B$ (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của $d$ là ${k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}}$

Do đó có 2 đường thẳng $d$ thỏa mãn

Từ đó suy ra có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn bài toán.

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.

$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$

$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$  nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$

(luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm \(A,B\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\), khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\({k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4\)

Khi đó \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({k_1} = {k_2} = 2\) hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng \(I\) của đồ thị \(\left( H \right)\) hay \(d\) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

\( \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2\)

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2\\3{x^2} + \dfrac{5}{4} = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{4}x = 0\\3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.