Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

Để đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ tiếp xúc với trục $Ox$ thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + m{x^2} - 9x - 9m = 0(1)$

$ \Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x =  - m \hfill \\x =  \pm 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m =  \pm 3.$

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 1\).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}k > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) < 0\,\end{array} \right.\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 3m + 3 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < m < 4\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy tập hợp \(S\) có 2 phần tử.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\).

Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\).

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)\).

Cho \(y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m - 2;\,2} \right)\).

Ta có: \(AB = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).

Ta có:

$y'=\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'=\dfrac{f'\left( x \right)\left( g\left( x \right)+1 \right)-g'\left( x \right)\left( f\left( x \right)+3 \right)}{{{\left( g\left( x \right)+1 \right)}^{2}}}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right)\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2 = {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3\end{array}$

Xét phương trình \( - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3 = 0\) có:

$\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 11 < 0;a =  - 1 < 0$

$\dfrac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\,\,\, \Rightarrow f\left( 1 \right) \le \dfrac{{ - 11}}{4}$