Các hàm số lượng giác

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

  •   
Câu 1 Trắc nghiệm

Hàm số y=sinx có tập xác định là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Hàm y=sinx có TXĐ D=R.

Câu 2 Trắc nghiệm

Tập giá trị của hàm số y=sinx là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Hàm số y=sinx có tập giá trị [1;1].

Câu 3 Trắc nghiệm

Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π+k2π)

Câu 4 Trắc nghiệm

Đồ thị hàm số y=tanx luôn đi qua điểm nào dưới đây?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Nếu x=0 thì y=tan0=0 nên điểm O nằm trên đồ thị hàm số y=tanx

B sai vì khi thay hoành độ của điểm M vào ta được y=tanx=tan0=01

C sai vì với x=π2, không tồn tại tanπ2

D sai vì với x=1 thì ta được y=tan10

Câu 5 Trắc nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y=1+3sin(2xπ4)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: -1 \le \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1

\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \\\Leftrightarrow 3.\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 3.1\\ \Rightarrow y=1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 + 3 = 4\end{array}

\max y = 4. Dấu "=" xảy ra khi \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)=1.

Ta có:

\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1

\Leftrightarrow 3.\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 3.\left( { - 1} \right)

\Rightarrow y = 1 + 3\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 1 + 3.(-1) =  - 2

\min y =  - 2. Dấu "=" xảy ra khi \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)=-1.

Vậy \max y = 4,\min y =  - 2

Câu 6 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Hàm số y = \sin xy = \cos x có chu kì T = 2\pi .

Hàm số y = \cot x và hàm số y = \tan x có chu kì T = \pi .

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Câu 7 Trắc nghiệm

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

+) Tìm GTLN

\begin{array}{l}{\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \ge 0\end{array}\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \ge 1

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le \dfrac{1}{1}=1

Nhân 2 vế với 4 ta được:

\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le 4.1 = 4\\\Rightarrow y \le 4

Dấu “=” xảy ra khi {\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow\sin x = 0.

+) Tìm GTNN

\begin{array}{l}{\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \le 2\\\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \le 1 + 2 = 3\end{array}

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{1}{3}

Nhân 2 vế với 4 ta được:

\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{4}{3}\\\Rightarrow y \ge \dfrac{4}{3}

Dấu “=” xảy ra khi {\sin ^2}x= 1\Leftrightarrow\sin x =  \pm 1.

Vậy GTLN là 4, GTNN là \dfrac{4}{3}.

Câu 8 Trắc nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Bước 1:

Theo công thức hạ bậc ta có: 2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x

=>y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x = 1 - \cos 2x + {\cos ^2}2x

=(\cos 2x)^2- \cos 2x +1

Bước 2:

Đặt t = \cos 2x;t \in \left[ { - 1;1} \right] ta được y = f\left( t \right) = {t^2} - t + 1;t \in \left[ { - 1;1} \right].

Bước 3:

Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số f\left( t \right) = {t^2} - t + 1 trên đoạn \in \left[ { - 1;1} \right].

\Rightarrow f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};f\left( { - 1} \right) = 3

Số lớn nhất là 3, số nhỏ nhất là \dfrac{3}{4}.

\Rightarrow \max y = 3;\min y = \dfrac{3}{4}.

Câu 9 Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số y = \tan \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Điều kiện: \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{k\pi }{2}

Câu 10 Trắc nghiệm

Hàm số y = \dfrac{{1 - \sin 2x}}{{\cos 3x - 1}} xác định trên:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Điều kiện: \cos 3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne 1 \Leftrightarrow 3x \ne k2\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k2\pi }}{3}

Câu 11 Trắc nghiệm

Tìm tập xác định của hàm số y = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}}}  

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điều kiện: \dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0

Nhận thấy \left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \le 1,\forall x \Rightarrow 1 - \cos 3x \ge 0\\\sin 4x \ge  - 1,\forall x \Rightarrow 1 + \sin 4x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - \cos 3x}}{{1 + \sin 4x}} \ge 0,\forall x

Do đó hàm số xác định nếu:

1 + \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 4x \ne  - 1 \Leftrightarrow 4x \ne  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}

Câu 12 Trắc nghiệm

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = \sqrt {2\sin x + 3}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Do - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -2 \le 2\sin x \le 2 \Rightarrow -2+3 \le2\sin x + 3 \le 2+3 \Rightarrow1 \le \sqrt {2\sin x + 3}  \le \sqrt 5 .

Dấu “=” xảy ra khi lần lượt \sin x =  - 1\sin x = 1

Câu 13 Trắc nghiệm

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = 3\sin x + 4\cos x - 1:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

Ta có: y = 3\sin x + 4\cos x - 1 \Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x

\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: {\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)  . Với a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x

Khi đó {\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 \Rightarrow  - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow  - 6 \le y \le 4

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi

Câu 14 Trắc nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Bước 1:

Ta có

y = {\sin ^2}x + 3\sin 2x + 3{\cos ^2}x ={\sin ^2}x +{\cos ^2}x + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x = 1 + 3\sin 2x + 2{\cos ^2}x = 1 + 3\sin 2x + 1 + \cos 2x = 2 + 3\sin 2x + \cos 2x

Bước 2:

\Rightarrow y - 2 = 3\sin 2x + \cos 2x \Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2}  

Bước 3:

{\left( {3\sin 2x + \cos 2x} \right)^2} = {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2}

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki  với a=3;b=1;c=\sin 2x;d=\cos 2x {\left( {3.\sin 2x +1. \cos 2x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 10.1=10

\Rightarrow {\left( {y - 2} \right)^2} \le 10

\Rightarrow  - \sqrt {10}  \le y - 2 \le \sqrt {10}  \Rightarrow 2 - \sqrt {10}  \le y \le 2 + \sqrt {10}

Bước 4:

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{3} = \dfrac{{\cos 2x}}{1} \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x}}{\cos 2x}=3\Leftrightarrow  \tan 2x = 3 \Leftrightarrow 2x = \arctan 3 + k\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{\arctan 3}}{2} + \dfrac{{k\pi }}{2}.

Câu 15 Trắc nghiệm

Tìm m để hàm số y = \sqrt {5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1} xác định với mọi x.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

ĐKXĐ: 5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1 \ge 0,\forall x \Leftrightarrow 2m \ge  - 5\sin 4x + 6\cos 4x + 1,\forall x

\Rightarrow 2m \ge \max f\left( x \right) với f\left( x \right) = 6\cos 4x - 5\sin 4x + 1

f\left( x \right) = \sqrt {{6^2} + {5^2}} .\left( {\dfrac{6}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\sin 4x} \right)

f(x) = \sqrt {61} \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {61} }}\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}\sin 4x} \right) + 1 = \sqrt {61} \sin \left( {\alpha  - 4x} \right) + 1 với \sin \alpha  = \dfrac{6}{{\sqrt {61} }},\cos \alpha  = \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}.

\Rightarrow f(x) \le \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow \max f(x) = \sqrt {61}  + 1 \Rightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {61}  + 1}}{2}

Câu 16 Trắc nghiệm

Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có:

\begin{array}{l}{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \ge \left[ {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 5\\ \Rightarrow  - \sqrt 5  \le 2\sin 2x - \cos 2x \le \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2\sin 2x - \cos 2x + 4 \ge 4 - \sqrt 5  > 0\end{array}

=> Hàm số luôn xác định trên \mathbb{R}

Bước 1:

Ta có y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}} \Leftrightarrow 2y.\sin 2x - y.\cos 2x + 4y = \sin 2x + 2\cos 2x + 3

\Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x = 3 - 4y

\Rightarrow [\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x]^2 = (3 - 4y)^2  (*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có {\left[ {\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x} \right]^2}

\le \left[ {{{\left( {2y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}

Bước 3:

Kết hợp với (*), ta được {\left( {3 - 4y} \right)^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}

\Leftrightarrow 9 - 24y + 16{y^2} \le \left( {4{y^2} - 4y + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right)

\Leftrightarrow 16{y^2} - 24y + 9 \le 5{y^2} + 5

\Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{11} \le y \le 2

\Rightarrow\min y = \dfrac{2}{{11}};\max y = 2

Câu 17 Trắc nghiệm

Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau

y = 3{\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} + 4\left( {3\sin x + 4\cos x} \right) + 1

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Đặt t = 3.\sin x + 4.\cos x, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

\begin{array}{l} {t^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\\ \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ = 25.1 = 25\\ \Rightarrow {t^2} \le 25 \Rightarrow - 5 \le t \le 5 \end{array}

Xét hàm số y = 3{t^2} + 4t + 1 trên [-5;5].

Hàm số y = 3{t^2} + 4t + 1 là hàm bậc hai có:

\begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{3} \in \left[ { - 5;5} \right]\\ y\left( { - \frac{2}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\\ y\left( { - 5} \right) = 56\\ y\left( 5 \right) = 96 \end{array}

Ta có bảng biến thiên:

\Rightarrow \min y =  - \dfrac{1}{3} khi t=- \dfrac{1}{3}

\max y = 96 khi t=5.

Câu 18 Trắc nghiệm

Tìm m để bất phương trình \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} \le m + 1 đúng với mọi x \in \mathbb{R}

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Đặt y = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \cos 2x} \right) + 1}} = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}

\Leftrightarrow y.\sin 2x + 2y.\cos 2x + 3y = 3.\sin 2x + \cos 2x \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x =  - 3y  (*)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có {\left[ {\left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2}

Kết hợp với (*), ta được 9{y^2} \le \left( {y - 3} \right){\,^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow y \le \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \Rightarrow \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}

Để bất phương trình y \le m + 1;x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {65}  - 9}}{4}

Câu 19 Trắc nghiệm

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \cos 2x + \cos x. Khi đó M + m bằng bao nhiêu?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: y = \cos 2x + \cos x = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1.

Đặt \cos {\mkern 1mu} x = t,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ { - 1;1} \right]. Hàm số trở thành y = 2{t^2} + t - 1. Đây là 1 parabol có bề lõm hướng lên, có hoành độ đỉnh x =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{1}{4}.

BBT:

 

Dựa vào BBT ta có: M = 2,\,\,m =  - \dfrac{9}{8},

Vậy M + m = 2 - \dfrac{9}{8} = \dfrac{7}{8}.

Câu 20 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu giá trị x \in \left[ {0;5\pi } \right] để hàm số y = \tan x nhận giá trị bằng 0?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta vẽ đồ thị hàm số y = \tan x trên đoạn \left[ {0;5\pi } \right].

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn \left[ {0;5\pi } \right], đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị x \in \left[ {0;5\pi } \right] để hàm số y = \tan x nhận giá trị bằng 0.