Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2\sin 2x - \cos 2x} \right)^2} \ge \left[ {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 5\\ \Rightarrow  - \sqrt 5  \le 2\sin 2x - \cos 2x \le \sqrt 5 \\ \Rightarrow 2\sin 2x - \cos 2x + 4 \ge 4 - \sqrt 5  > 0\end{array}\)

=> Hàm số luôn xác định trên $\mathbb{R}$

Bước 1:

Ta có \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}{{2\sin 2x - \cos 2x + 4}}\)\( \Leftrightarrow 2y.\sin 2x - y.\cos 2x + 4y\)\( = \sin 2x + 2\cos 2x + 3\)

\( \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x = 3 - 4y\)

\( \Rightarrow [\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x]^2 = (3 - 4y)^2\)  (*)

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {2y - 1} \right).\sin 2x - \left( {y + 2} \right).\cos 2x} \right]^2}\)

\(\le \left[ {{{\left( {2y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)\( = {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

Bước 3:

Kết hợp với (*), ta được \({\left( {3 - 4y} \right)^2} \le {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9 - 24y + 16{y^2}\)\( \le \left( {4{y^2} - 4y + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4y + 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 16{y^2} - 24y + 9 \le 5{y^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 11{y^2} - 24y + 4 \le 0 \)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{11} \le y \le 2\)

\( \Rightarrow\min y = \dfrac{2}{{11}};\max y = 2\)