Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
+) Tìm GTLN
$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \ge 0\end{array}$$\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \ge 1$
Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:
$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le \dfrac{1}{1}=1 $
Nhân 2 vế với 4 ta được:
$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le 4.1 = 4\\\Rightarrow y \le 4$
Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow\sin x = 0\).
+) Tìm GTNN
$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \le 2\\\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \le 1 + 2 = 3\end{array}$
Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:
$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{1}{3}$
Nhân 2 vế với 4 ta được:
$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{4}{3}\\\Rightarrow y \ge \dfrac{4}{3}$
Dấu “=” xảy ra khi \({\sin ^2}x= 1\Leftrightarrow\sin x = \pm 1\).
Vậy GTLN là 4, GTNN là \(\dfrac{4}{3}\).
Hướng dẫn giải:
+) Sử dụng đánh giá \( - 1 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\) để đánh giá vế phải của \(y\).
+) Với hai vế bất đẳng thức đều dương: Ta lấy nghịch đảo hai vế thì bất đẳng thức đổi chiều từ $\ge$ sang $\le$ và chuyển từ $\le$ sang $\ge$
+) Khi nhân số dương với 2 vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Câu hỏi khác
- Bài tập phần phương trình lượng giác cơ bản thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần các hàm số lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần công thức biến đổi lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt thi ĐGTD Bách khoa có lời giải
