Các hàm số lượng giác

Ta có đồ thị hàm số \(y = \left| {\tan x} \right|\) như sau:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Hàm số \(y = \left| {\tan x} \right|\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), do đó đáp án A và D sai.

- Đặt \(f\left( x \right) = \left| {\tan x} \right|\), \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

   \(f\left( { - x} \right) = \left| {\tan \left( { - x} \right)} \right| = \left| { - \tan x} \right| = \left| {\tan x} \right| = f\left( x \right)\), do đó hàm số đã cho là hàm chẵn trên tập xác định. Do đó đáp án B đúng.

- Do là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy chứ không đối xứng qua tâm O, do đó đáp án C sai.

Ta có: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\), do đó loại đáp án C.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(2\pi \), ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right]\).

- Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\).

- Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right)\).

Ta có: \( - 2 \le 2\sin 2x \le 2\) nên loại đáp án A và B.

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\sin 0 = 0\), do đó đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2\sin 2x\) đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(2\pi \) và kết hợp với các đáp án ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\).

- Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên hàm số \(y = 1 - \sin x\) nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

- Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) nên hàm số \(y = 1 - \sin x\) đồng biến trên \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Do đó chỉ có đáp án D là sai.

Xét đáp án A:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|.\sin \left( { - x} \right) = x.\left( { - \sin x} \right)\\ =  - x.\sin x =  - y\left( x \right)\end{array}\)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án B:

\(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\) => ĐKXĐ: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

=> TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

\(\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ = \left( { - \sin x} \right){\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]^2} + \left( { - \tan x} \right)\\ =  - \sin x.{\left( {\cos x} \right)^2} - \tan x\\=  - \sin x{\cos ^2}x - \tan x\\ =  - \left( {\sin x.{{\cos }^2}x + \tan x} \right) =  - y\left( x \right)\end{array}\)

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án C:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)\( \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

\(y\left( { - x} \right) = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}\left( { - x} \right) + 2019}}{{\cos \left( { - x} \right)}}\)\( = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}} = y\left( { - x} \right).\)

Do đó hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}}\) là hàm số chẵn và nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.

Xét đáp án D:

Theo lý thuyết về hàm số \(y = \tan x\) thì đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

(I): Hàm số \(y = \sin x\) có chu kỳ là \(2\pi \) nên I sai.

(II): Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\) nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số \(y = \cos x\) có

$y(-x)=\cos (-x)=\cos x=y(x)$

=> \(y\left( x \right) = y\left( { - x} \right)\) nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

(IV): Hàm số \(y = \cot x\) luôn nghịch biến trên \(\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)\) 

Với $k=-1$ thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {-\pi;0 } \right)\) nên IV đúng.

Bước 1:

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x\)\( = 1 + \cos 2x + \sin 2x\)

Bước 2:

\( \Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4}\) \( = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\)

Bước 3:

Ta có \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Hay \(\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \)

Bước 4:

Dấu = xảy ra khi \(\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bước 5:

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(1 - \sqrt 2 \).

Bước 1:

Ta có \(y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m} \)

Hàm số trên có tập xác định R khi

\(\begin{array}{l}8\cos x - 6\sin x - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {4\cos x - 3\sin x} \right) - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\end{array}\)

Bước 2:

Đặt \(t = 4\cos x - 3\sin x\)

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\({t^2} = {\left( {4\cos x - 3\sin x} \right)^2}\)\( \le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25\)\( \Leftrightarrow  - 5 \le t \le 5\)

Bước 3:

Ta có bất phương trình \(2t - {t^2} - 2m \ge 0\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]\)

\( \Leftrightarrow  - 2m \ge {t^2} - 2t\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]\)(1)

Bước 4:

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 2t\) trên \(\left[ { - 5;5} \right]\)

Ta có $-\dfrac{b}{2a}=1 \in \left[ { - 5;5} \right]$

Vì $a=1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty)$

Mà $(-5;1) \subset (-\infty;1)$ và $(1;5) \subset (1;+\infty)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-5;1)$ và đồng biến trên $(1;5)$.

Bảng biến thiên:

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi \( - 2m \ge 35 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{{35}}{2}\)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) 

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.\).

Bước 2: Chu kì của hàm số \(y = \tan x\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Xét hàm số \(y = \tan x\) là hàm tuần hoàn có chu kì \({T_1} = \pi \).

Xét hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\).

Ta có \(g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1\)

\( \Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

Giá trị nhỏ nhất của \({T_2}\) là \(2\pi \).

Ta thấy \(\forall x \in D;x + k2\pi  \in D\) thì \(g(x + k2\pi ) = g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \({T_2} = 2\pi \).

Bước 3: Chu kì của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Khi đó, hàm số \(y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

Bước 1: Chứng tỏ \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

Ta thấy \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Bước 2: Tính \(f( - x)\) và kết luận

Mặt khác, \(f( - x) = \tan ( - x) - \dfrac{1}{{\sin ( - x)}}\)\( =  - \tan x + \dfrac{1}{{\sin x}} =  - f(x)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm lẻ.