Các hàm số lượng giác

Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {\tan x} \right|$ như sau:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

- Hàm số $y = \left| {\tan x} \right|$ nghịch biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)$ và đồng biến trên $\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)$, do đó đáp án A và D sai.

- Đặt $f\left( x \right) = \left| {\tan x} \right|$, $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$.

   $f\left( { - x} \right) = \left| {\tan \left( { - x} \right)} \right| = \left| { - \tan x} \right| = \left| {\tan x} \right| = f\left( x \right)$, do đó hàm số đã cho là hàm chẵn trên tập xác định. Do đó đáp án B đúng.

- Do là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy chứ không đối xứng qua tâm O, do đó đáp án C sai.

Ta có: $\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$ nên tập giá trị của hàm số là $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$, do đó loại đáp án C.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $2\pi$, ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right]$.

- Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số $y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$ nghịch biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$.

- Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)$ nên hàm số $y = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{{3\pi }}{4};\dfrac{{7\pi }}{4}} \right)$.

Ta có: $- 2 \le 2\sin 2x \le 2$ nên loại đáp án A và B.

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2\sin 0 = 0$, do đó đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = 2\sin 2x$ đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì $2\pi$ và kết hợp với các đáp án ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]$.

- Hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$ nên hàm số $y = 1 - \sin x$ nghịch biến trên $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

- Hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)$ nên hàm số $y = 1 - \sin x$ đồng biến trên $\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)$.

Do đó chỉ có đáp án D là sai.

Xét đáp án A:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$$\Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

$\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|.\sin \left( { - x} \right) = x.\left( { - \sin x} \right)\\ =  - x.\sin x =  - y\left( x \right)\end{array}$

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án B:

$\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$ => ĐKXĐ: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

=> TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$\Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

$\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right)\\ = \left( { - \sin x} \right){\left[ {\cos \left( { - x} \right)} \right]^2} + \left( { - \tan x} \right)\\ =  - \sin x.{\left( {\cos x} \right)^2} - \tan x\\=  - \sin x{\cos ^2}x - \tan x\\ =  - \left( {\sin x.{{\cos }^2}x + \tan x} \right) =  - y\left( x \right)\end{array}$

=> Đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

Xét đáp án C:

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$$\Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$.

$y\left( { - x} \right) = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}\left( { - x} \right) + 2019}}{{\cos \left( { - x} \right)}}$$= \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}} = y\left( { - x} \right).$

Do đó hàm số $y = \dfrac{{{{\sin }^{2020}}x + 2019}}{{\cos x}}$ là hàm số chẵn và nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

Xét đáp án D:

Theo lý thuyết về hàm số $y = \tan x$ thì đây là hàm số lẻ nên không nhận Oy làm trục đối xứng.

(I): Hàm số $y = \sin x$ có chu kỳ là $2\pi$ nên I sai.

(II): Hàm số $y = \tan x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$ nên II sai.

Tập hợp bài đưa ra là tập xác định của hàm số.

(III): Ta có hàm số $y = \cos x$ có

$y(-x)=\cos (-x)=\cos x=y(x)$

=> $y\left( x \right) = y\left( { - x} \right)$ nên đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua trục tung nên III đúng.

(IV): Hàm số $y = \cot x$ luôn nghịch biến trên $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)$ 

Với $k=-1$ thì hàm số nghịch biến trên $\left( {-\pi;0 } \right)$ nên IV đúng.

Bước 1:

Ta có $y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x$$= 1 + \cos 2x + \sin 2x$

Bước 2:

$\Rightarrow \dfrac{y}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x$ $= \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \dfrac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \dfrac{\pi }{4}$ $= \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Bước 3:

Ta có $\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Hay $\dfrac{y}{{\sqrt 2 }} \ge  - 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2$

Bước 4:

Dấu = xảy ra khi $\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Bước 5:

Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $1 - \sqrt 2$.

Bước 1:

Ta có $y = \sqrt {8\cos x - 6\sin x - {{\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)}^2} - 2m}$

Hàm số trên có tập xác định R khi

$\begin{array}{l}8\cos x - 6\sin x - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {4\cos x - 3\sin x} \right) - {\left( {3\sin x - 4\cos x} \right)^2} - 2m \ge 0\end{array}$

Bước 2:

Đặt $t = 4\cos x - 3\sin x$

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

${t^2} = {\left( {4\cos x - 3\sin x} \right)^2}$$\le \left( {{4^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25$$\Leftrightarrow  - 5 \le t \le 5$

Bước 3:

Ta có bất phương trình $2t - {t^2} - 2m \ge 0\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]$

$\Leftrightarrow  - 2m \ge {t^2} - 2t\forall t \in \left[ { - 5;5} \right]$(1)

Bước 4:

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - 2t$ trên $\left[ { - 5;5} \right]$

Ta có $-\dfrac{b}{2a}=1 \in \left[ { - 5;5} \right]$

Vì $a=1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty)$

Mà $(-5;1) \subset (-\infty;1)$ và $(1;5) \subset (1;+\infty)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-5;1)$ và đồng biến trên $(1;5)$.

Bảng biến thiên:

Bước 5:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất đẳng thức (1) xảy ra khi $- 2m \ge 35 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{{35}}{2}$

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số $f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$ 

Điều kiện xác định $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.$.

Bước 2: Chu kì của hàm số $y = \tan x$ và $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$

Xét hàm số $y = \tan x$ là hàm tuần hoàn có chu kì ${T_1} = \pi$.

Xét hàm số $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$.

Ta có $g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x$.

Chọn $x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1$

$\Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).$

Giá trị nhỏ nhất của ${T_2}$ là $2\pi$.

Ta thấy $\forall x \in D;x + k2\pi  \in D$ thì $g(x + k2\pi ) = g(x)$.

Vậy hàm số $g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì ${T_2} = 2\pi$.

Bước 3: Chu kì của hàm số $f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$

Khi đó, hàm số $y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$ là hàm tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.

Bước 1: Chứng tỏ $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

Ta thấy $\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$.

Bước 2: Tính $f( - x)$ và kết luận

Mặt khác, $f( - x) = \tan ( - x) - \dfrac{1}{{\sin ( - x)}}$$=  - \tan x + \dfrac{1}{{\sin x}} =  - f(x)$

$\Rightarrow$ Hàm số $f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}$ là hàm lẻ.