Cho hàm số lượng giác \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\).

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số trên.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) 

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \ne 0}\\{\sin x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ne k\dfrac{\pi }{2} \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}} \right.\).

Bước 2: Chu kì của hàm số \(y = \tan x\) và \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Xét hàm số \(y = \tan x\) là hàm tuần hoàn có chu kì \({T_1} = \pi \).

Xét hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\).

Ta có \(g\left( {x + {T_2}} \right) = g(x) \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sin \left( {x + {T_2}} \right)}} = \dfrac{1}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin \left( {x + {T_2}} \right) = \sin x\).

Chọn \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow \sin x = 1\)

\( \Rightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {T_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + {T_2} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow {T_2} = k2\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

Giá trị nhỏ nhất của \({T_2}\) là \(2\pi \).

Ta thấy \(\forall x \in D;x + k2\pi  \in D\) thì \(g(x + k2\pi ) = g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x) = \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \({T_2} = 2\pi \).

Bước 3: Chu kì của hàm số \(f(x) = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Khi đó, hàm số \(y = \tan x - \dfrac{1}{{\sin x}}\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).