Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm m để hàm số \(y = \sqrt {5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1} \) xác định với mọi $x$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
ĐKXĐ: \(5\sin 4x - 6\cos 4x + 2m - 1 \ge 0,\forall x \)\(\Leftrightarrow 2m \ge - 5\sin 4x + 6\cos 4x + 1,\forall x\)
\( \Rightarrow 2m \ge \max f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = 6\cos 4x - 5\sin 4x + 1\)
\(f\left( x \right) = \sqrt {{6^2} + {5^2}} .\left( {\dfrac{6}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {{6^2} + {5^2}} }}.\sin 4x} \right)\)
\(f(x) = \sqrt {61} \left( {\dfrac{6}{{\sqrt {61} }}\cos 4x - \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}\sin 4x} \right) + 1 = \sqrt {61} \sin \left( {\alpha - 4x} \right) + 1\) với $\sin \alpha = \dfrac{6}{{\sqrt {61} }},\cos \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {61} }}$.
\( \Rightarrow f(x) \le \sqrt {61} + 1 \Rightarrow \max f(x) = \sqrt {61} + 1 \Rightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {61} + 1}}{2}\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện để hàm số xác định.
- Biến đổi bất đẳng thức trở thành \(g\left( m \right) \ge f\left( x \right),\forall x \Leftrightarrow g\left( m \right) \ge \max f\left( x \right)\).
Giải thích thêm:
Một số em có thể sẽ nhầm điều kiện thành \(2m \ge \min f\left( x \right)\) dẫn đến chọn nhầm đáp án B là sai.
Hoặc một số em khác sẽ chọn nhầm đáp án A vì quên không chia cho \(2\) khi tìm điều kiện của \(m\).
Cách 2 tìm \(\max f\left( x \right)\): Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\(f\left( x \right) = 6\cos 4x - 5\sin 4x + 1\)
$\le \sqrt{[6^2+(-5)^2](\sin^24x+\cos^24x)}+1=\sqrt{61}+1$
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{6}{{ - 5}} = \dfrac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}} \Leftrightarrow \tan 4x = - \dfrac{5}{6}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập phần phương trình lượng giác cơ bản thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần các hàm số lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần công thức biến đổi lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt thi ĐGTD Bách khoa có lời giải
