Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm m để bất phương trình \(\dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}} \le m + 1\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Đặt \(y = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 4{{\cos }^2}x + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\left( {1 + \cos 2x} \right) + 1}}\)\( = \dfrac{{3\sin 2x + \cos 2x}}{{\sin 2x + 2\cos 2x + 3}}\)
\( \Leftrightarrow y.\sin 2x + 2y.\cos 2x + 3y = 3.\sin 2x + \cos 2x\)\( \Leftrightarrow \left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x = - 3y\) (*)
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left[ {\left( {y - 3} \right).\sin 2x + \left( {2y - 1} \right).\cos 2x} \right]^2} \le {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2}\)
Kết hợp với (*), ta được \(9{y^2} \le \left( {y - 3} \right){\,^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow y \le \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Rightarrow \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)
Để bất phương trình \(y \le m + 1;x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m + 1 \ge \max y = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\)\( \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\)
Hướng dẫn giải:
Bất phương trình \(f\left( x \right) \le m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in D\) nếu và chỉ nếu \(m \ge \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\).
Câu hỏi khác
- Bài tập phần phương trình lượng giác cơ bản thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần các hàm số lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần công thức biến đổi lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt thi ĐGTD Bách khoa có lời giải
