Tìm tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp.

\(y' = 4{x^3} - 4{m^2}x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm m.\end{array} \right.\)

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm, hay \(m \ne 0\).

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ \(A\left( {0;\,\,{m^4} + 3} \right)\); \(B\left( {m;3} \right)\);\(C\left( { - m;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AC} \left( { - m; - {m^4}} \right);\,\,\overrightarrow {OC} \left( { - m;3} \right)\)

Tứ giác \(OBAC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\OB = OC\end{array} \right.\).

Suy ra \(OA\) là đường trung trực của \(BC\).

Để tứ giác \(OBAC\) nội tiếp đường tròn thì điểm \(B\), \(C\) phải nhìn cạnh \(OA\) dưới góc \(90^\circ .\)

Khi đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {OC}  = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3{m^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0:L\\m =  \pm \sqrt {\dfrac{1}{3}} :T/m\end{array} \right.\).