Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}$ đi qua gốc tọa độ $O$?

Giả sử $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ $O$

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4{\text{x}}$

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$

$y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$ \Leftrightarrow y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2$

Thay $\left( {0;0} \right)$ vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow  - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  \pm \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.