Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1(n \ge 1)}\end{array}} \right.\).

Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.

Ta có \({u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;\)\({u_3} = {10^2} + 3;\)\({u_{100}} = {10^{99}} + 100\)

Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

\( \Rightarrow \) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

\({S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_{100}}\)\( = {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3\)\( +  \ldots  + {10^{99}} + 100\)

\( \Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^{99}}} \right)\)\( + (1 + 2 + 3 +  \ldots  + 100)\)

\( \Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}\)\( = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\)

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là \({S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\).