Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 2 = 0\). Tìm điểm \(M \in \Delta \) sao cho \(2A{M^2} + M{B^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

Gọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn

\(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} \)\( = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right).\)

Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2} \)\(+ {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

 \(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM}  + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) \\= 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

\(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I  lên \(\Delta \)

 \(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)

Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) d  nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d  là: \(2\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {y - \dfrac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0\)

M  là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{26}}{{15}}\\y =  - \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right).\)

Vậy \(M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.