Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\sqrt {{x^2} - m} \). Số giá trị của tham số \(m\) để \(F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\) và \(F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\) là:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {x\sqrt {{x^2} - m} dx} \).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - m} \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx\).
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {t.tdt} = \int {{t^2}dt} = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C\).
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\\F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} = 7\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7\) với \(m \le 2\).
Ta có \(f'\left( m \right) = - \dfrac{3}{2}\sqrt {5 - m} + \dfrac{3}{2}\sqrt {2 - m} = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m} - \sqrt {5 - m} } \right)\).
Vì \(2 - m < 5 - m\,\,\forall m \le 2\) \( \Rightarrow \sqrt {2 - m} < \sqrt {5 - m} \,\,\forall m \le 2\), do đó \(f'\left( m \right) < 0\,\,\forall m \le 2\).
Suy ra hàm số \(f\left( m \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right]\).
Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(m = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
