Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Câu 21 Trắc nghiệm

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)\) bằng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;1} \right)\), \(C'\left( {1;1;1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {1;0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {1;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {A'BC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;0;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {ABC'} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)\) ta có:

\(\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}\).

Câu 22 Trắc nghiệm

Trong không gian \(Oxyz\), hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\) và \(2x - 2y + z + 4 = 0\) chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\left( P \right):\,\,\,4x - 4y + 2z - 7 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {4; - 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\(\left( Q \right):\,\,\,2x - 2y + z + 4 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}}  \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)

Lấy điểm \(A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {4.0 - 4.2 + 2.0 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{15}}{6} = \dfrac{5}{2}\)

Mà hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\,\left( Q \right)\)  chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh của hình lập phương là \(d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{5}{2}.\)

\( \Rightarrow V = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^3} = \dfrac{{125}}{8}.\)

Câu 23 Trắc nghiệm

Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P): x+y+z-1=0$, $(Q): 2 x+m y+2 z+3=0$ và $(R):-x+2 y+n z=0$. Tính tổng $m+2 n$, biết $(P) \perp(R)$ và $(P) / /(Q)$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng:

0

Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng:

0

Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng:

0

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

+) $(P): x+y+z-1=0$ có VTPT $\vec{a}=(1 ; 1 ; 1)$

+) $(Q): 2 x+m y+2 z+3=0$ có VTPT $\vec{b}=(2 ; m ; 2)$

+) $(R):-x+2 y+n z=0$ có VTPT $\vec{c}=(-1 ; 2 ; n)$

Bước 2: Tính $ m+2 n $

  $(P)\perp(R)$$ \Leftrightarrow \vec{d} \cdot \vec{c}=0 \Leftrightarrow n=-1$

$(P) / /(Q) \Leftrightarrow \dfrac{2}{1}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{2}{1} \Leftrightarrow m=2$

Vây $m+2 n=2+2(-1)=0$