Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)\) bằng:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:
\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {1;1;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;1} \right)\), \(C'\left( {1;1;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {A'B} = \left( {1;0; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {1;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {A'BC} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)\).
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC'} = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left( {ABC'} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0; - 1;1} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)\) ta có:
\(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.0 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz\), hai mặt phẳng \(4x - 4y + 2z - 7 = 0\) và \(2x - 2y + z + 4 = 0\) chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là:
Ta có: \(\left( P \right):\,\,\,4x - 4y + 2z - 7 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4; - 4;\,\,2} \right) = 2\left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)
\(\left( Q \right):\,\,\,2x - 2y + z + 4 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 2;\,\,1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow \left( P \right)//\left( Q \right)\)
Lấy điểm \(A\left( {0;\,\,2;\,\,0} \right) \in \left( Q \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)\) \( = \dfrac{{\left| {4.0 - 4.2 + 2.0 - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{15}}{6} = \dfrac{5}{2}\)
Mà hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\,\left( Q \right)\) chứa hai mặt của hình lập phương đã cho
\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh của hình lập phương là \(d\left( {\left( P \right);\,\,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{5}{2}.\)
\( \Rightarrow V = {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^3} = \dfrac{{125}}{8}.\)
Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P): x+y+z-1=0$, $(Q): 2 x+m y+2 z+3=0$ và $(R):-x+2 y+n z=0$. Tính tổng $m+2 n$, biết $(P) \perp(R)$ và $(P) / /(Q)$
0
0
0
Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)
+) $(P): x+y+z-1=0$ có VTPT $\vec{a}=(1 ; 1 ; 1)$
+) $(Q): 2 x+m y+2 z+3=0$ có VTPT $\vec{b}=(2 ; m ; 2)$
+) $(R):-x+2 y+n z=0$ có VTPT $\vec{c}=(-1 ; 2 ; n)$
Bước 2: Tính $ m+2 n $
$(P)\perp(R)$$ \Leftrightarrow \vec{d} \cdot \vec{c}=0 \Leftrightarrow n=-1$
$(P) / /(Q) \Leftrightarrow \dfrac{2}{1}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{2}{1} \Leftrightarrow m=2$
Vây $m+2 n=2+2(-1)=0$