Câu hỏi:
2 năm trước
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Giả sử \(z = a + bi\), theo giả thiết ta có
\(|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} = 10\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với $A=1;B=1;X=\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} ;$$Y=\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} $ ta có
\(10 = 1.\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} + 1.\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}} \)\(\le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]} \) \( = \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]} = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \)
Suy ra \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9} \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\)
Do đó \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\)
Hướng dẫn giải:
Gọi \(z = a + bi\), thay vào các dữ kiện đề bài cho để tìm mối liên hệ \(a,b\).
Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {AX + BY} \right)} \le \sqrt{ \left( {{A^2} + {B^2}} \right)\left( {{X^2} + {Y^2}} \right)}$ để đánh giá \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
