Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Có 8 quyển sách Địa lí, 12 quyển sách Lịch sử, 10 quyển sách Giáo dục công dân (các quyển sách cùng một môn thì giống nhau) được chia thành 15 phần quà, mỗi phần gồm 2 quyển khác loại. Lấy ngẫu nhiên 2 phần quà từ 15 phần quà. Xác suất để hai phần quà lấy được khác nhau là:
Gọi số phần quà Sử - Địa là \(x\), số phần quà Sử - GDCD là \(y\) và số phần quà Địa – GDCD là \(z\)
Tổng số phần quà là 15 nên x+y+z=15.
Phần quà có môn sử chỉ có 2 kiểu: Sử- Địa (x phần quà) và Sử - GDCD(y phần quà). Do có 12 quyển sách sử nên 12 quyển này nằm hoàn toàn trong 2 kiểu phần quà trên. Do đó, x+y=12.
Tương tự với Địa: x+z=8.
GDCD: y+z=10
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 15\\x + y = 12\\y + z = 10\\x + z = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\\z = 3\end{array} \right.\)
Suy ra số phần qùa Sử - Địa là 5.
Số phần quà Sử - GDCD là 7.
Số phần quà Địa – GDCD là 3.
Chọn 2 trong 15 phần quà \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^2 = 105\).
Gọi A là biến cố: “hai phần quà lấy được khác nhau”, khi đó ta có:
\(n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1 + C_7^1.C_3^1 + C_3^1.C_5^1 = 71\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{71}}{{105}}\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ \(S\). Xác suất chọn được số lớn hơn \(2500\) là
Bước 1:
Gọi số có số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt là ,
Bước 2:
+ \(a\) có \(9\) cách chọn, \(b\) có \(9\) cách chọn, \(c\) có \(8\) cách chọn, \(d\) có \(7\) cách chọn
Nên có \(9.9.8.7 = 4536\) số. Hay số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 4536\)
Bước 3:
Gọi A là biến cố
Bước 4:
+ Nếu \(a \in \left\{ {3;4;5;6;7;8;9} \right\}\) thì số cách chọn 3 chữ số \(b,c,d\) là \(A_9^3\) nên có \(7.A_9^3\) số
+ Nếu \(a = 2\) và \(b = 5\) thì \(c,d \in \left\{ {0;1;3;4;6;7;8;9} \right\}\) nên có \(A_8^2\) số
+ Nếu \(a = 2;b \in \left\{ {6;7;8;9} \right\}\) thì có \(A_8^2\) cách chọn \(c,d\) nên có \(4.A_8^2\) số
Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 7.A_9^3 + A_8^2 + 4.A_8^2 = 3808\)
Bước 5:
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{3808}}{{4536}} = \dfrac{{68}}{{81}}\)
Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là :
Bước 1:
Gọi A là biến cố “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều”.
Bước 2:
Số cách chọn 3 đỉnh bất kì trong 12 đỉnh là \(\left| \Omega \right| = C_{12}^3\).
Bước 3:
Để 3 đỉnh tạo thành 1 tam giác đều thì các đỉnh cách đều nhau. Do đó số cách chọn tam giác đều là \(\left| {{\Omega _A}} \right| = \dfrac{{12}}{3} = 4.\)
Bước 4:
Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{4}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{55}}.\)
Tổ 1 lớp 11A có 6 nam 7 nữ, tổ 2 có 5 nam, 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là :
Bước 1:
Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn đều là nữ ”.
Bước 2:
Số cách chọn 2 bạn ( mỗi tổ 1 bạn) là 13.13=169.
Bước 3:
Số cách chọn nữ của tổ 1 là 7
Số cách chọn nữ của tổ 2 là 8
Do đó có 7.8=56 cách chọn 2 học sinh từ mỗi tổ đều là nữ.
Bước 4:
Vậy xác suất là \(P = \dfrac{{56}}{{169}}.\)
Trường trung học phổ thông A có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp và khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ 3 khối.
Khối 10 có 8 em bí thư; khối 11 có 8 em bí thư; khối 12 có 7 em bí thư
Cả trường có 23 em bí thư.
Số cách chọn 9 em bí thư trong cả trường là \(C_{23}^9\) \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{23}^9\).
Gọi A là biến cố: “9 em bí thư được chọn có đủ 3 khối” \( \Rightarrow \overline A \): “9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối”.
Vì mỗi khối có ít hơn 9 em bí thư, nên để 9 em bí thư được chọn không đủ 3 khối thì 9 em bí thư được chọn từ 2 khối.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 11 là \(C_{16}^9\) cách.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 11 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.
Số cách chọn 9 em bí thư từ khối 10 và 12 là \(C_{15}^9\) cách.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9\).
Vậy xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = 1 - \dfrac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \dfrac{{C_{16}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^9}}{{C_{23}^9}} = \dfrac{{7234}}{{7429}}\).
Một hộp đựng 8 quả cầu xanh, 12 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại. Xác suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu là:
Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong các quả cầu còn lại thì số phần tử không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 20.19 = 380\).
Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”.
TH1: Lấy được 2 quả cầu cùng màu xanh, có \(8.7 = 56\) cách.
TH2: Lấy được 2 quả cầu cùng màu đỏ, có \(12.11 = 132\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 56 + 132 = 188\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{188}}{{380}} = \dfrac{{47}}{{95}} \approx 49,47\% \).
