Hai tam giác đồng dạng

Vì tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A'B'C'$ theo tỉ số $k$  nên $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = k$ .

Ta có $\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{AC}}{{A'C'}} = \dfrac{{BC}}{{B'C'}} = \dfrac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = \dfrac{{{P_{ABC}}}}{{{P_{A'B'C'}}}} = k$.

Vậy tỉ số chu vi của hai tam giác là $k$ .

Vì $MN{\rm{//}}BC \Rightarrow$ tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $\Delta ABC$ .

Vì tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $DEF$ nên

 $\widehat A = \widehat D = 80^\circ ;\,\widehat B = \widehat E = 70^\circ ;\,\\\widehat C = \widehat F = 30^\circ$ 

Vậy $\widehat C = {30^0}$ là đúng.

Vì tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $MNP$ theo tỉ số $\dfrac{2}{3}$ nên

$\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{{AC}}{{MP}} = \dfrac{{BC}}{{NP}} = \dfrac{{AB + AC + BC}}{{MN + MP + NP}} = \dfrac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta MNP}}}}$  và $\dfrac{{AB}}{{MN}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{{P_{\Delta ABC}}}}{{{P_{\Delta MNP}}}} = \dfrac{2}{3}$

Từ đó ${P_{\Delta MNP}} = \dfrac{{3.{P_{\Delta ABC}}}}{2}$$= \dfrac{{3.40}}{2} = 60\,cm.$ 

Vì $\Delta ABD$$\backsim$$\Delta BDC$ (gt) nên $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$ suy ra $ABCD$ là hình thang (dấu hiệu nhận biết).

Vì $\Delta ABD$$\backsim$$\Delta BDC$ nên

$\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{BC}},$ tức là

$\dfrac{2}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{8} = \dfrac{3}{{BC}}.$

Ta có $B{D^2} = 2.8 = 16$ nên $BD = 4cm.$

Suy ra $BC = \dfrac{{8.3}}{4} = 6\,\left( {cm} \right).$

Vậy $BD = 4\,cm;BC = 6\,cm$ .

$AB{\rm{//}}CD$ nên $\Delta AOB$$\backsim$$\Delta COD.$ Tỉ số đồng dạng $\dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{BO}}{{OD}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}.$

Ta có $MD$ // $AC$ nên $\Delta DBM$$\backsim$$\Delta ABC$. Suy ra

$\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{AC}} = \dfrac{{DB + BM + DM}}{{AB + BC + AC}}$

Do đó $\dfrac{1}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta BDM}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.$

Chu vi $\Delta DBM$ bằng $30 \cdot \dfrac{1}{3} = 10\,\left( {cm} \right).$

Ta có $ME$ // $AB$ nên $\Delta EMC$$\backsim$$\Delta ABC.$ Suy ra

$\dfrac{{EM}}{{AB}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{EM + MC + EC}}{{AB + BC + AC}},$ do đó $\dfrac{2}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta {\rm E}{\rm M}C}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.$

Chu vi $\Delta EMC$ bằng $30 \cdot \dfrac{2}{3} = 20\,\left( {cm} \right).$

Vậy chu vi $\Delta DBM$ và chu vi $\Delta EMC$ lần lượt là $10\,cm;\,20\,cm$ .

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $ME$ // $DC$ và $EN$ // $AB$.

+ $ME$ // $DC$ nên $\Delta AME$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}.$

+ Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat B = \widehat D;\,AD = BC;\,AB = DC$$\Rightarrow$ $\Delta CBA = \Delta ADC$ nên

$\Delta CBA$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng bằng $1$ .

+ $EN$ // $AB$ nên $\Delta CNE$$\backsim$$\Delta CBA,$do đó $\Delta CNE$$\backsim$$\Delta ADC,$ tỉ số đồng dạng $\dfrac{{CE}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}.$

Vậy cả (I), (II), (III) đều đúng.