Các quy tắc tính đạo hàm

${\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{uv - vu}}{{{v^2}}}$

$y' = x' + \left( {{{\sin }^2}x} \right)'$$= 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x$

$y' = 2.(5x-1)'.(5x-1)$$=2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10$

Bước 1:

$\dfrac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}$

Bước 2:

$\Rightarrow y' = \left( {{x^{ - 2}}} \right)' =  - 2.{x^{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}$

$y' = \left( {2\sin x - 3\cos x} \right)'$

$=\left( {2\sin x} \right)'-\left( {3\cos x} \right)'$

$=2(\sin x)'-3(\cos x)'$

$= 2.\cos x + 3\sin x$

$g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3$$= 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11$

Bước 1:

Ta có:$f'\left( x \right) = 3.\left( {2x - 1} \right)'.{\left( {2x - 1} \right)^2}$$= 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}$

Bước 2:

$f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6$

$\left( {\dfrac{1}{x}} \right)' =  - \dfrac{1}{{{x^2}}}$

=> Đáp án A sai.

$y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$$=\dfrac{{{\sin }^2}x+{{\cos }^2}x}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$$= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$

Bước 1:

$y' = \left( {3x - 1} \right)'.\sqrt {{x^2} + 1}$$+ \left( {3x - 1} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'$

Bước 2:

$\begin{array}{l} = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1}  + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Bước 3:

$\begin{array}{l} = \dfrac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}$

Bước 1:

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \dfrac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}\end{array}$

Bước 2:

Thay $x = 2$ vào $y'$:

$y'(2) = \dfrac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \dfrac{3}{4}$

Bước 1:

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\\h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21\\g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\\ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\\h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)\\ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021\end{array}$

${[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(1) - g(1) = 3 - 1 = 2$

Bước 1:

$\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}$

(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình

$\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.$ đều có 2 nghiệm.

Bước 3:

${x^2} + 4x - m = 1$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - 5$

${x^2} + 4x - m = 2$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi

$\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m >  - 6$

Vậy $m >  - 5$

Bước 4:

Mà $m \in \left[ { - 21;21} \right]$ nên $m$ là các số nguyên từ -4 đến 21.

Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.

Bước 1:

Vận tốc $v\left( t \right)$ là đạo hàm của hàm S=S(t).

$\Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) =  - {t^2} + 12t$

Bước 2:

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3$ (giây) bằng:

$\Rightarrow v\left( 3 \right) =  - 9 + 36 = 27m/s$

Bước 1:

$y' = \dfrac{{\left( {\sin 2x + 2} \right)'\left( {\cos 2x + 3} \right) - \left( {\cos 2x + 3} \right)'\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2cox2x\left( {\cos 2x + 3} \right) + 2\sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {{{\cos }^2}2x + {{\sin }^2}2x} \right) + 6\cos 2x + 4\sin 2x}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

Bước 1:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1}  + \left( {x - 2} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x - 2} \right).x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\end{array}$

Bước 2:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} - \sqrt {{x^2} - 1}  \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \le 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\\ =  > S = \left( {1;2} \right]\end{array}$

Bước 1:

$y' = {x^2} - mx + m$

Bước 2:

$\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + m \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\end{array}$

$f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x.1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x\left( {x - 1} \right).1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + ... + \\x.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2017} \right).1\end{array}$

$\Rightarrow f'\left( 0 \right) = 1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right) + 0 + 0 + ... + 0 = 1.2...2018 .(-1)^{2018}= 2018!$.