Cho \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm. Khẳng định nào sau đây sai
\({\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{uv - vu}}{{{v^2}}}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = x + {\sin ^2}x\) là
\(y' = x' + \left( {{{\sin }^2}x} \right)'\)\( = 1 + 2.\sin x.\cos x = 1 + \sin 2x\)
Đạo hàm của hàm số \(y = {(5x - 1)^2}\) là
\(y' = 2.(5x-1)'.(5x-1)\)\(=2.5.\left( {5x - 1} \right) = 50x - 10\)
Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là
Bước 1:
\(\dfrac{1}{{{x^2}}} = {x^{ - 2}}\)
Bước 2:
\( \Rightarrow y' = \left( {{x^{ - 2}}} \right)' = - 2.{x^{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}\)
Đạo hàm của hàm số \(y = 2\sin x - 3\cos x\) là
\(y' = \left( {2\sin x - 3\cos x} \right)'\)
$=\left( {2\sin x} \right)'-\left( {3\cos x} \right)'$
$=2(\sin x)'-3(\cos x)'$
\( = 2.\cos x + 3\sin x\)
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = 2x + 4\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(g(x) = 2f(x) + 3x - 1\) có đạo hàm là
\(g'\left( x \right) = 2.f'\left( x \right) + 3\)\( = 2.\left( {2x + 4} \right) + 3 = 4x + 11\)
Cho hàm số \(f(x) = {(2x - 1)^3}\). Giá trị của \({f^\prime }(1)\) bằng
Bước 1:
Ta có:\(f'\left( x \right) = 3.\left( {2x - 1} \right)'.{\left( {2x - 1} \right)^2}\)\( = 3.2.{\left( {2x - 1} \right)^2} = 6.{\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Bước 2:
\(f'\left( 1 \right) = 6.{\left( {2.1 - 1} \right)^2} = 6.1 = 6\)
Khẳng định nào sau đây sai
\(\left( {\dfrac{1}{x}} \right)' = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
=> Đáp án A sai.
Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x - \cot x\) là
\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} \)\(=\dfrac{{{\sin }^2}x+{{\cos }^2}x}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\)\(= \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = (3x - 1)\sqrt {{x^2} + 1} \)
Bước 1:
\(y' = \left( {3x - 1} \right)'.\sqrt {{x^2} + 1} \)\( + \left( {3x - 1} \right).\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l} = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{{2x}}{{2.\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = 3.\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {3x - 1} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Bước 3:
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{3.\left( {{x^2} + 1} \right) + 3{x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ = \dfrac{{6{x^2} - x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Cho hàm số \(y = \sqrt {10x - {x^2}} \). Giá trị của \(y'\left( 2 \right)\) bằng
Bước 1:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{{\left( {10x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }} = \dfrac{{10 - 2x}}{{2\sqrt {10x - {x^2}} }}\\ = \dfrac{{5 - x}}{{\sqrt {10x - {x^2}} }}\end{array}\)
Bước 2:
Thay \(x = 2\) vào \(y'\):
\(y'(2) = \dfrac{{5 - 2}}{{\sqrt {10 \cdot 2 - {2^2}} }} = \dfrac{3}{4}\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) Xét các hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)\) và \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)\). Biết rằng \(g'\left( 1 \right) = 21\) và \(g'\left( 2 \right) = 1000\). Tính \(h'\left( 1 \right)\)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)\\h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 21\\g'\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\\ \Rightarrow 2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\\h'\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right)\\ = g'\left( 1 \right) + 2g'\left( 2 \right) = 2021\end{array}\)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có \(f'\left( 1 \right) = 3\) và \(g'\left( 1 \right) = 1.\) Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) tại điểm \(x = 1\) bằng
\({[f(x) - g(x)]^\prime } = {f^\prime }(1) - g(1) = 3 - 1 = 2\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\) , \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm \(x = 1;x = 2\) . Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\) , có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có nhiều nghiệm nhất?
Bước 1:
\(\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình
\(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.\) đều có 2 nghiệm.
Bước 3:
\({x^2} + 4x - m = 1\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\)
\({x^2} + 4x - m = 2\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\)
Vậy \(m > - 5\)
Bước 4:
Mà \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) nên \(m\) là các số nguyên từ -4 đến 21.
Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S = - \dfrac{1}{3}{t^3} + 6{t^2}\), trong đó \(t > 0,t\) được tính bằng giây \((s)\) và \(S\) tính bằng mét \((m)\). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\) (giây) bằng
Bước 1:
Vận tốc \(v\left( t \right)\) là đạo hàm của hàm S=S(t).
\( \Rightarrow v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t\)
Bước 2:
Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = 3\) (giây) bằng:
\( \Rightarrow v\left( 3 \right) = - 9 + 36 = 27m/s\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{{\sin 2x + 2}}{{\cos 2x + 3}}\).
Bước 1:
\(y' = \dfrac{{\left( {\sin 2x + 2} \right)'\left( {\cos 2x + 3} \right) - \left( {\cos 2x + 3} \right)'\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{2cox2x\left( {\cos 2x + 3} \right) + 2\sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {{{\cos }^2}2x + {{\sin }^2}2x} \right) + 6\cos 2x + 4\sin 2x}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {3\cos 2x + 2\sin 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {\cos 2x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} - 1} \), tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(f'\left( x \right) \le \sqrt {{x^2} - 1} \)
Bước 1:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 1} + \left( {x - 2} \right).\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {x - 2} \right).x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} - \sqrt {{x^2} - 1} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 2x - 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \le 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2\\ = > S = \left( {1;2} \right]\end{array}\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{m}{2}{x^2} + mx + 5\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Bước 1:
\(y' = {x^2} - mx + m\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + m \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\end{array}\)
Tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\) tại điểm \(x = 0\).
\(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x.1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + x\left( {x - 1} \right).1.\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2018} \right) + ... + \\x.\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2017} \right).1\end{array}\)
\( \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 1.\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - 2018} \right) + 0 + 0 + ... + 0 = 1.2...2018 .(-1)^{2018}= 2018!\).
