Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\) , \(f'\left( x \right) = 0\) có đúng hai nghiệm \(x = 1;x = 2\) . Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\) , có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) để phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có nhiều nghiệm nhất?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Bước 1:
\(\begin{array}{l}f'(1) = f'(2) = 0\\g(x) = f\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\\g'(x) = (2x + 4) \cdot f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right)\end{array}\)
Bước 2:
\(\begin{array}{l}g'(x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x - m} \right) = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
(1) có tối đa nghiệm khi và chỉ khi cả 2 phương trình
\(\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - m = 1\\{x^2} + 4x - m = 2\end{array} \right.\) đều có 2 nghiệm.
Bước 3:
\({x^2} + 4x - m = 1\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > - 5\)
\({x^2} + 4x - m = 2\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta ' = m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\)
Vậy \(m > - 5\)
Bước 4:
Mà \(m \in \left[ { - 21;21} \right]\) nên \(m\) là các số nguyên từ -4 đến 21.
Số các giá trị của m là 21-(-4)+1=26.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp để tính\(g'(x)\): \(g{'_x} = u{'_x}.g{'_u}\).
Bước 2: Biện luận nghiệm của g’(x)=0
có đúng hai nghiệm thì \(f'\left( {u\left( x \right)} \right) = 0\) có nhiều nghiệm nhất khi \(\left[ \begin{array}{l}u\left( x \right) = 1\\u\left( x \right) = 2\end{array} \right.\) đều có tối đa nghiệm.
Bước 3: Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai để tìm điều kiện của m.
Bước 4: Đếm các giá trị của m
Số các số nguyên từ m đến n là: n-m+1 số.
