Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat C + \widehat D = 90^\circ .\) Chọn câu đúng.
Gọi \(K\) là giao điểm \(AD,BC\).
Vì \(\widehat C + \widehat D = 90^\circ \) nên \(\widehat K = 90^\circ \).
Xét \(\Delta KAC\) vuông tại \(K\) ta có: \(A{C^2} = K{C^2} + K{A^2}\).
Xét \(\Delta KBD\) vuông tại \(K\) có: \(B{D^2} = K{B^2} + K{D^2}\).
Xét \(\Delta KBA\) vuông tại \(K\) có: \(B{A^2} = K{A^2} + K{B^2}\).
Xét \(\Delta KCD\) vuông tại \(K\) có: \(C{D^2} = K{C^2} + K{D^2}\).
Từ đó \(B{D^2} + A{C^2} = K{C^2} + K{A^2} + K{B^2} + K{D^2}\)\( = \left( {K{B^2} + K{A^2}} \right) + \left( {K{D^2} + K{C^2}} \right) = A{B^2} + D{C^2}\)
Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A - \widehat C = 60^\circ .\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(D\) cắt nhau tại \(I.\) Tính số đo góc \(BID.\)
Xét tam giác \(BIC\) có: \(\widehat {IBC} = \widehat {{I_1}} - \widehat {BCI}\).
Xét tam giác \(DIC\) có: \(\widehat {IDC} = \widehat {{I_2}} - \widehat {ICD}\).
Nên \(\widehat {IBC} + \widehat {IDC} = \left( {\widehat {{I_1}} + \widehat {{I_2}}} \right) - \left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}} \right)\)\( = \widehat {BID} - \widehat C\).
Tứ giác \(ABID\) có: \(\widehat {ABI} + \widehat {ADI} = 360^\circ - \widehat A - \widehat {BID}\).
Do \(\widehat {ABI} = \widehat {IBC};\,\widehat {ADI} = \widehat {IDC}\) (tính chất tia phân giác) nên \(\widehat {IBC} + \widehat {IDC} = \widehat {ABI} + \widehat {ADI}\).
Hay \(\widehat {BID} - \widehat C = 360^\circ - \widehat A - \widehat {BID}\)\( \Leftrightarrow 2\widehat {BID} = 360^\circ - \left( {\widehat A - \widehat C} \right) = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).
Suy ra \(\widehat {BID} = 150^\circ .\)
