Trường hợp đồng dạng thứ ba

+ Ta có: $\widehat {DMC} = \widehat {DME} + \widehat {EMC}$

Mặt khác: $\widehat {DMC} = \widehat {ABC} + \widehat {BDM}$ (góc ngoài tam giác)

Mà: $\widehat {DME} = \widehat {ABC}$(gt) nên $\widehat {BDM} = \widehat {EMC}$

+ Ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$ ) và  $\widehat {BDM} = \widehat {EMC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$$\Delta BDM\backsim\Delta CME\;(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{CM}} = \dfrac{{BM}}{{CE}} \Rightarrow BD.CE = CM.BM$

Lại có M là trung điểm của BC và BC = 2a $\Rightarrow$BM = MC = a

$\Rightarrow BD.CE = {a^2}$ không đổi.

Ta có: $\Delta BDM\backsim\Delta CME\;$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \dfrac{{DM}}{{ME}} = \dfrac{{BD}}{{CM}} = \dfrac{{BD}}{{BM}}$ (do CM = BM (gt))

$\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DM}} = \dfrac{{BM}}{{ME}}$

Xét $\Delta BDM$ và $\Delta MDE$ ta có:

$\dfrac{{BD}}{{DM}} = \dfrac{{BM}}{{ME}}$

$\widehat {DME} = \widehat {ABC}$  (gt)

$\Rightarrow \Delta BDM\backsim\Delta MDE\;(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {MDE}$ (hai góc tương ứng)