Có bao nhiêu giá trị nguyên của hàm số \(m\) để phương trình \({z^2} - 2mz + 6m - 5 = 0\) có hai nghiệm phức phân biệt \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|?\)
Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì \(\Delta ' < 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5\)
Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).
\( \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right)\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết phương trình \(2{z^2} + 4z + 3 = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\). Giá trị của \(\left| {{z_1}{z_2} + i\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right|\) bằng:
Phương trình \(2{z^2} + 4z + 3 = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - 2\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó ta có: \(\left| {{z_1}{z_2} + i\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| { - \dfrac{3}{2} + i.\left( { - 2} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \dfrac{5}{2}\)
Biết phương trình \({z^2} + 2z + m = 0\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) có một nghiệm là \({z_1} = - 1 + 3i\). Gọi \({z_2}\) là nghiệm còn lại. Phần ảo của số phức \({\rm{w}} = {z_1} - 2{z_2}\) bằng
Phương trình \({z^2} + 2z + m = 0\) có một nghiệm \({z_1} = - 1 + 3i \Rightarrow \) Nghiệm còn lại là \({z_2} = - 1 - 3i.\)
Khi đó ta có: \(w = {z_1} - 2{z_2} = - 1 + 3i - 2\left( { - 1 - 3i} \right) = 1 + 9i\)
Vậy số phức \(w\) có phần ảo bằng 9.
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 7\)?
Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*).
TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = - 7\end{array} \right.\).
+ Nếu \({z_0} = 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 7 \pm \sqrt {14} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 7\) (tmycbt).
+ Nếu \({z_0} = - 7\) thay vào (*)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Vô nghiệm.
TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\).
Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \).
Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 49\,\,\left( 1 \right)\).
Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m = \pm 7\).
So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 7\).
Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 7 \pm \sqrt {14} \) và \(m = - 7\)).
Số nghiệm phức của phương trình \({z^2} + \left| z \right| = 0\) là:
Bước 1:
Ta có: \({z^2} + \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = - {z^2}\).
Bước 2:
Lấy môđun 2 vế của phương trình ta có:
\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {\left| z \right|} \right| = \left| { - {z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = {\left| z \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow \left| z \right|\left( {1 - \left| z \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = 0}\\{\left| z \right| = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\end{array}} \right.\)
Bước 3:
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{{z^2} + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{z = {\rm{\;}} \pm i}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức duy nhất \(z = 0,\,\,z = \pm i\).
Các nghiệm của phương trình \({z^2} - z + 2 = 0\) được biểu diễn hình học bởi điểm A và điểm B trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của AB là
Bước 1: Tìm A và B
\({z^2} - z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}i\\z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}i\end{array} \right.\)
Chọn \(A\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right);B\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)\)
Bước 2: Tính độ dài AB.
Độ dài đoạn thẳng AB là: \(\sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 7 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 7 \)
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 8m - 12 = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|?\)
Ta có \({\Delta ^\prime } = {m^2} - 8m + 12\)
Nếu \({\Delta ^\prime } > 0\) thì phương trình có hai nghiệm thực. Khi đó:
\(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow {z_1} = - {z_2}\) \( \Leftrightarrow {z_1} + {z_2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\) (thỏa mãn)
Nếu \({\Delta ^\prime } < 0\), thì phương trình có hai nghiệm phức khi đó là hai số phức liên hợp nên ta luôn có \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\), hay \({m^2} - 8m + 12 < 0 \Leftrightarrow 2 < m < 6\) luôn thỏa mãn.
=> \(m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\)
Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn
