Phương trình phức

Để phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt thì $\Delta ' < 0$ $\Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5$

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức phân biệt thì hai số phức đó là hai số phức liên hợp nên luôn thỏa mãn điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$.

$\Rightarrow m \in \left( {1;5} \right)$. Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4} \right\}$. Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương trình $2{z^2} + 4z + 3 = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1},\,\,{z_2}$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - 2\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $\left| {{z_1}{z_2} + i\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} \right|$$\Leftrightarrow \left| { - \dfrac{3}{2} + i.\left( { - 2} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \dfrac{5}{2}$

Phương trình ${z^2} + 2z + m = 0$ có một nghiệm ${z_1} =  - 1 + 3i \Rightarrow$ Nghiệm còn lại là ${z_2} =  - 1 - 3i.$

Khi đó ta có: $w = {z_1} - 2{z_2} =  - 1 + 3i - 2\left( { - 1 - 3i} \right) = 1 + 9i$

Vậy số phức $w$ có phần ảo bằng 9.

Đặt ${z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0$ (*).

TH1: ${z_0}$ là nghiệm thực $\Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} =  - 7\end{array} \right.$.

+ Nếu ${z_0} = 7$ thay vào (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}$

$\Rightarrow$ Có 2 giá trị thỏa mãn $m = 7 \pm \sqrt {14}$ thì phương trình (*) có nghiệm ${z_0} = 7$ (tmycbt).

+ Nếu ${z_0} =  - 7$ thay vào (*)

$\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Vô nghiệm.

TH2: ${z_0}$ là nghiệm có chứa $i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}$.

Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức ${z_0}$ chứa $i$ thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là $\overline {{z_0}}$.

Điều kiện $\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}}  = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}}  = 49\,\,\left( 1 \right)$.

Vì ${z_0}$ và $\overline {{z_0}}$ là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: ${z_0}.\overline {{z_0}}  = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m =  \pm 7$.

So sánh điều kiện $m <  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m =  - 7$.

Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán ($m = 7 \pm \sqrt {14}$ và $m =  - 7$).

Bước 1:

Ta có: ${z^2} + \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| =  - {z^2}$.

Bước 2:

Lấy môđun 2 vế của phương trình ta có:

${\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {\left| z \right|} \right| = \left| { - {z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = {\left| z \right|^2}$

$\Leftrightarrow \left| z \right|\left( {1 - \left| z \right|} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = 0}\\{\left| z \right| = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }\end{array}} \right.$

Bước 3:

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{{z^2} + 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{z = {\rm{\;}} \pm i}\end{array}} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức duy nhất $z = 0,\,\,z =  \pm i$.

Bước 1: Tìm A và B

${z^2} - z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}i\\z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}i\end{array} \right.$

Chọn $A\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right);B\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)$

Bước 2: Tính độ dài AB.

Độ dài đoạn thẳng AB là: $\sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt 7 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 7$

Ta có ${\Delta ^\prime } = {m^2} - 8m + 12$

Nếu ${\Delta ^\prime } > 0$ thì phương trình có hai nghiệm thực. Khi đó:

$\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow {z_1} =  - {z_2}$ $\Leftrightarrow {z_1} + {z_2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$ (thỏa mãn)

Nếu ${\Delta ^\prime } < 0$, thì phương trình có hai nghiệm phức khi đó là hai số phức liên hợp nên ta luôn có $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$, hay ${m^2} - 8m + 12 < 0 \Leftrightarrow 2 < m < 6$ luôn thỏa mãn.

=> $m \in \left\{ {3;4;5} \right\}$

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn