Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h\) là:
Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ là: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\).
Thể tích khối trụ có bán kính \(r = 4cm\) và chiều cao \(h = 5cm\) là:
Ta có: \(V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3,BC = 4$. Gọi ${V_1},{V_2}$ lần lượt là thể tích của các khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục $AB$ và $BC$. Khi đó tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
Có ${V_1} = \pi B{C^2}.AB;{V_2} = \pi .A{B^2}.BC \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{4}{3}$
Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng $V$ và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy $R$ bằng:
Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần
${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$
Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước $50cm \times 240cm$, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng $50cm$, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu ${V_1}$ là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và ${V_2}$ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$.
Cách 1: Chu vi đáy là $240cm \Rightarrow 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \dfrac{{120}}{\pi } $
$\Rightarrow {V_1} = \pi R_1^2h = \pi {\left( {\dfrac{{120}}{\pi }} \right)^2}h = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }$
Cách 2: Chu vi đáy mỗi hình trụ nhỏ là:
\(240:2 = 120cm \Rightarrow 2\pi R = 120 \Rightarrow R = \dfrac{{60}}{\pi } \)
$\Rightarrow V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{{60}}{\pi }} \right)^2}.50 = \dfrac{{{{60}^2}.50}}{\pi } \Rightarrow {V_2} = 2V = \dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi }$
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{{{120}^2}.50}}{\pi }:\dfrac{{{{2.60}^2}.50}}{\pi } = 2\)
Một đường tròn có bán kính $r$ thì có chu vi và diện tích lần lượt là $C = 2\pi r;S = \pi {r^2} \Rightarrow S = \dfrac{{{C^2}}}{{4\pi }}$
Gọi chiều dài tấm tôn là $a$ thì tổng diện tích đáy của thùng theo 2 cách lần lượt là
${S_1} = \dfrac{{{a^2}}}{{4\pi }};{S_2} = 2.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}{{4\pi }} = \dfrac{{{a^2}}}{{8\pi }} \Rightarrow \dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2$
Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 1$ và $AD = 2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục $MN$, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần $S_{tp}$ của hình trụ đó.
Hình trụ có bán kính đáy $r = 1$, chiều cao $h = 1$ nên có ${S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 4\pi $.
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước $2m,3m,2m$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo nước hình trụ có chiều cao là $5cm$ và bán kính đường tròn đáy là $4cm$. Trung bình một ngày được múc ra $170$ gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bể hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?
Thể tích gáo \({V_1} = \pi {R^2}.h = \pi .0,{04^2}.0,05 = 8\pi {.10^{ - 5}}({m^3})\)
Số nước múc ra trong một ngày \({V_2} = 170{V_1} = 170.8.\pi {.10^{ - 5}} = 0,0136\pi \left( {{m^3}} \right)\)
Số ngày dùng hết nước là \(\dfrac{{2.3.2}}{{{V_2}}} = \dfrac{{12}}{{0,0136\pi }} \approx 281\)(ngày)
Một cái cốc hình trụ cao $15cm$ đựng được $0,5$ lít nước. Hỏi bán kính đường tròn đáy đáy của cốc xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)?
\(V = Sh = \pi {R^2}.h \Rightarrow R = \sqrt {\dfrac{V}{{\pi h}}} = \sqrt {\dfrac{{0,{{5.10}^{ - 3}}}}{{\pi .0,15}}} = 0,0326(m) = 3,26(cm)\)
Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm $17$ chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh $14cm$; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng$30cm$. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là $390cm$. Tỉnh lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị ${m^3}$, làm tròn đến $1$ chữ số thập phân sau dấu phầy). Ta có kết quả:
- Với cột bê tông hình lăng trụ:
Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng $6$ tam giác đều cạnh $14cm$, mỗi tam giác có diện tích là $\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$
- Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ:
Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính $15cm$ nên có diện tích là ${15^2}\pi \left( {c{m^2}} \right)$
Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả $17$ cột, mỗi cột cao $390cm$ là:
$17.390\left( {{{15}^2}\pi - 6.\dfrac{{{{14}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = 1,{31.10^6}{\rm{ }}c{m^3} = 1,31{\rm{ }}{m^3}$
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Khi quay hình vuông $ABCD$ quanh $MN$ tạo thành một hình trụ. Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình trụ, ta có bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ là:
Mặt trụ tạo bởi hình vuông $ABCD$ khi quay quanh $MN$ có chiều cao $h = a$ và bán kính đáy $r = \dfrac{a}{2}$ nên có diện tích toàn phần:
${S_{tp}} = 2\pi r\left( {r + h} \right) = 2\pi .\dfrac{a}{2}\left( {\dfrac{a}{2} + a} \right) = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có diện tích bằng ${S_{tp}}$ của mặt trụ thì có bán kính $R$ với:
$4\pi {R^2} = \dfrac{{3{a^2}\pi }}{2} \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}$
Xét hình trụ \(T\) có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh $a$. Tính diện tích toàn phần \(S\) của hình trụ.
Ta có: \(r = OA = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2};h = AA' = a\) nên \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .\dfrac{a}{2}.a + 2\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2} + \dfrac{{\pi {a^2}}}{2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\)
Cho hình trụ có các đáy là hình tròn tâm $O$ và tâm $O'$ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng $4cm$. Trên đường tròn đáy tâm $O$ lấy điểm $A$, trên đường tròn đáy tâm $O'$ lấy điểm B sao cho $AB = 4\sqrt 3 cm$. Thể tích khối tứ diện $AOO'B$ là:
Tam giác \(OAO'\) vuông tại \(O\) nên:
\(O'A = \sqrt {O{A^2} + O'{O^2}} = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2 \)
Tam giác \(AO'B\) có:
\(O'{A^2} + O'{B^2} = A{B^2}\) nên tam giác \(AO'B\) vuông tại \(O'\)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}O'B \bot {\rm{OO'}}\\O'B \bot A{\rm{O'}}\end{array} \right. \Rightarrow O'B \bot \left( {{\rm{AOO'}}} \right)$
${S_{\Delta AOO'}} = \dfrac{1}{2}OA.OO= \dfrac{1}{2}.4.4 = 8$
$ \Rightarrow {V_{AOO'B}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.O'B = \dfrac{1}{3}.8.4 = \dfrac{{32}}{3}$
Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ \(\left( {{H_1}} \right),\,\,\left( {{H_2}} \right)\) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \({r_1},\,\,{h_1},\,\,{r_2},\,\,{h_2}\) thỏa mãn \({r_2} = \dfrac{1}{2}{r_1},\,\,{h_2} = 2{h_1}\) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng \(30c{m^3}\) . Tính thể tích khối trụ \(\left( {{H_1}} \right)\) bằng:
Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:
\(\begin{array}{l}V = \pi r_1^2{h_1} + \pi r_2^2{h_2} = \pi r_1^2{h_1} + \pi \dfrac{1}{4}r_1^2.2{h_1} = \dfrac{3}{2}\pi r_1^2{h_1} = 30\\ \Rightarrow \pi r_1^2{h_1} = 20\end{array}\)
Vậy thể tích khối trụ (H1) là 20 cm3.
Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính \(r\) vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là \(120\,\,c{m^3}\), thể tích của mỗi khối cầu bằng
Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ \( \Rightarrow \) Hình trụ có chiều cao \(h = 2r\) và bán kính đáy \(R = 2r\).
\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ là \(V = \pi {\left( {2r} \right)^2}2r = 8\pi {r^3} = 120 \Leftrightarrow {r^3} = \dfrac{{120}}{{8\pi }} = \dfrac{{15}}{\pi }\).
Vậy thể tích mỗi khối cầu là \({V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {r^3} = \dfrac{4}{3}\pi .\dfrac{{15}}{\pi } = 20\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).
Cho hình trụ bán kính đường tròn đáy bằng 1. Hai điểm \(A\) và \(B\) lần lượt thuộc hai đường tròn đáy sao cho \(AB = \sqrt 6 \), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và trục của hình trụ bằng \(\dfrac{1}{2}\). Thể tích khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó bằng:
Gọi \(O,\,\,O'\) lần lượt là tâm đường tròn đáy chứa \(A,\,\,B\).
Gọi \(A'\) là hình chiếu của \(A\) lên đường tròn đáy chứa điểm \(B\).
Ta có \(AA'\parallel OO' \Rightarrow OO'\parallel \left( {AA'B} \right) \supset AB\) \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = d\left( {OO';\left( {AA'B} \right)} \right) = d\left( {O';\left( {AA'B} \right)} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(A'B\), ta có \(O'H \bot A'B\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow O'H \bot \left( {AA'B} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {OO';AB} \right) = OH = \dfrac{1}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'HB\) có \(HB = \sqrt {O'{B^2} - O'{H^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow A'B = 2HB = \sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông có: \(AA' = \sqrt {A{B^2} - A'{B^2}} = \sqrt {6 - 3} = \sqrt 3 \).
Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.\sqrt 3 = \pi \sqrt 3 \).
Một hình trụ có diện tích xung quanh là \(16\pi \), thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là \(ABB'A'\), biết một cạnh thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung \({120^0}\). Chu vi tứ giác \(ABB'A'\) bằng:
Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có \({S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8\).
Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\), do đó \(r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4\) \( \Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'\).
Theo bài ra ta có: \(\angle AOB = {120^0}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {120^0}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3 = 2.\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3 + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \).
Cho khối trụ có hai đáy là \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\). \(AB,\,\,CD\) lần lượt là hai đường kính của \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\), góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng \({30^0}\), \(AB = 6\) và thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,\,B\) lên đường tròn \(\left( O \right)\).
\(C',\,\,D'\) lần lượt là hình chiếu của \(C,\,\,D\) lên đường tròn \(\left( {O'} \right)\).
\( \Rightarrow AC'BD'\) là hình bình hành, lại có \(AB = CD = C'D'\) nên \(AC'BD'\) là hình chữ nhật.
Khi đó \(AC'BD'.A'CB'D\) là hình hộp chữ nhật.
Ta có: \({V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + {V_{A.A'CD}} + {V_{B.B'CD}} + {V_{C.C'AB}} + {V_{D.D'AB}}\).
Ta có: \({V_{A.A'CD}} = \dfrac{1}{3}AA'.{S_{A'CD}} = \dfrac{1}{3}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{A'CB'D}} = \dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\).
CMTT ta có: \({V_{B.B'CD}} = {V_{C.C'AB}} = {V_{D.D'AB}} = \dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = {V_{ABCD}} + 4.\dfrac{1}{6}{V_{AC'BD'.A'CB'D}}\\ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 30\\ \Rightarrow {V_{AC'BD'.A'CB'D}} = 90\end{array}\)
Theo bài ra ta có: \(\angle \left( {AB;CD} \right) = {30^0} \Rightarrow \angle \left( {AB;C'D'} \right) = {30^0}\), giả sử \(\angle \left( {AB;C'D'} \right) = \angle AOC' = {30^0}\).
Lại có \(OA = OC' = \dfrac{1}{2}AB = 3\) \( \Rightarrow {S_{OAC'}} = \dfrac{1}{2}OA.OC'.\sin \angle AOC' = \dfrac{1}{2}.3.3.\sin {30^0} = \dfrac{9}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{AC'BD'}} = 4{S_{OAC'}} = 9\).
Ta có: \({V_{AC'BD'.A'CB'D}} = AA'.{S_{AC'BD'}}\)\( \Rightarrow 90 = AA'.9 \Leftrightarrow AA' = 10\).
Vậy thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi .O{A^2}.AA' = \pi {.3^2}.10 = 90\pi \).
Cho hình trụ có \(O,\,\,O'\) là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật \(ABCD\) có \(A,\,\,B\) cùng thuộc \(\left( O \right)\) và \(C,\,\,D\) cùng thuộc \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\) đồng thời \(\left( {ABCD} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc \({60^0}\). Thể tích khối trụ bằng:
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,AB\) và \(I\) là trung điểm của \(OO'\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {O'CD} \right) = CD\\IM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,IM \bot CD\\O'M \subset \left( {O'CD} \right),\,\,O'M \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABCD} \right);\left( {O'BC} \right)} \right) = \angle \left( {IM;O'M} \right) = \angle IMO' = {60^0}\).
Ta có: \(MN = BC = 2a\) \( \Rightarrow IM = \dfrac{1}{2}MN = a\).
Xét tam giác vuông \(O'IM\) có: \(O'M = IM.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\), \(O'I = IM.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow \) Chiều cao của khối trụ là \(h = OO' = 2O'I = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(O'CM\) có: \(O'C = \sqrt {O'{M^2} + C{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = a\).
\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của khối trụ là \(r = O'C = a\).
Vậy thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {r^2}h = \pi .{a^2}.a\sqrt 3 = \pi {a^3}\sqrt 3 \).
Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:
Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2rh = 10.\)
\( \Rightarrow {S_{xq}} = 2\pi rh = 10\pi .\)
Một cái nồi có dạng hình trụ có chiều cao 60cm và diện tích đáy là \(900\pi \,\,c{m^2}\). Hỏi cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước bao nhiêu để làm thân nồi?
Ta có hình trụ có diện tích đáy là \(S = \pi {R^2} = 900\pi \Leftrightarrow R = 30\,\,cm\).
Diện tích xung quanh hình trụ là \(S = 2\pi Rh = 2\pi .30.60 = 60\pi .60\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)
Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật chiều dài \(60\pi cm\) và chiều rộng \(60\, cm\)
