Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình trụ có diện tích xung quanh là \(16\pi \), thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là \(ABB'A'\), biết một cạnh thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung \({120^0}\). Chu vi tứ giác \(ABB'A'\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, ta có \({S_{xq}} = 2\pi rh \Leftrightarrow 16\pi = 2\pi rh \Leftrightarrow rh = 8\).
Lại có thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\), do đó \(r.2r = 8 \Leftrightarrow {r^2} = 4\) \( \Rightarrow r = 2,\,\,h = 4 = AA'\).
Theo bài ra ta có: \(\angle AOB = {120^0}\).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2.r.r.\cos {120^0}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3 = 2.\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right) = 2\left( {2\sqrt 3 + 4} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, vì thiết diện qua trục là hình vuông nên \(h = 2r\). Dựa vào diện tích xung quanh của hình trụ tính \(r,\,\,h\).
- Dựa vào định lí Cosin trong tam giác \(OAB\) tính \(AB\) theo \(r\), từ đó tính được \(AB\).
- Sử dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật \({C_{ABB'A'}} = 2\left( {AB + AA'} \right)\).
