Chia đơn thức cho đơn thức

+) Ta có \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right):a{x^3}\)\( = \left( {{a^6}{x^3}:a{x^3}} \right) + \left( {2{a^3}{x^4}:a{x^3}} \right) - \left( {9a{x^5}:a{x^3}} \right)\)

\( = {a^5} + 2{a^2}x - 9{x^2}\) .

nên A đúng, C, D sai.

+) Phép chia  đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}y\)  không là phép chia hết vì đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) không có biến \(y\) nên B sai.

Ta có \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2} \)\(= {3^3}.{\left( {{a^2}} \right)^3}.{b^3}.{a^2}.{\left( {{b^3}} \right)^2} \)\(= 27{a^6}.{b^3}.{a^2}.{b^6} \)\(= 27{a^8}{b^9};\) \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4} \)\(= {\left( {{a^2}} \right)^4}.{b^4} \)\(= {a^8}{b^4}\)

Khi đó \(A:B = 27{a^8}{b^9}:{a^8}{b^4} \)\(= 27{b^5}\)

Ta có \(8{x^3} + {y^6} \)\(= {\left( {2x} \right)^3} + {\left( {{y^2}} \right)^3} \)\(= \left( {2x + {y^2}} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right)\) \( = \left( {2x + y} \right)\left( {4{x^2} - 2x{y^2} + {y^4}} \right)\)

Vậy đa thức cần điền là \(4{x^2} - 2x{y^2} + {y^4}.\)

Ta có  \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = {\left( {3x + 1} \right)^3}:{\left( {3x + 1} \right)^2} = 3x + 1\)

Để phép chia \({x^n}:{x^6} = {x^{n - 6}}\) thực hiện được thì \(n \in \mathbb{N};\,n - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 6;\,n \in \mathbb{N}\)

Để phép chia \({x^{n + 3}}{y^6}:{x^9}{y^n}\) là phép chia hết thì \(\left\{ \begin{array}{l}9 \le n + 3\\n \le 6\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 6\\n \le 6\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow n = 6\) .

+  Ta có \(A = 15{x^5}{y^4}{z^3}:\left( { - 3{x^4}{y^4}{z^2}} \right)\)\( = \left( {15:\left( { - 3} \right)} \right).\left( {{x^5}:{x^4}} \right).\left( {{y^4}:{y^4}} \right).\left( {{z^3}:{z^2}} \right)\) \( =  - 5xz\)

+ Thay \(x =  - 2,y = 2004,z = 10\) vào \(A =  - 5xz\) ta có

\(A =  - 5.\left( { - 2} \right).10 = 100\) .

Ta có \(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\)\( = \left[ {\left( {9{x^4}{y^3}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {18{x^5}{y^4}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {81{x^6}{y^5}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right]\)

\( =  - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\)

Đa thức \( - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\) có bậc \(3 + 2 = 5\) .

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,E = \dfrac{2}{3}{x^2}{y^3}:\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}xy} \right) + \dfrac{{2x\left( {y - 1} \right){{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{\left( {y + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow E =  - 2x{y^2} + 2x\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow E =  - 2x{y^2} + 2x\left( {{y^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow E =  - 2x{y^2} + 2x{y^2} - 2x\\ \Leftrightarrow E =  - 2x.\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức E không phụ thuộc vào biến y.

Ta có \(\left( {2{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^4}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) - 3{x^3}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + {x^2}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 4{x^2} + 6x - 2 + 4{x^2} - 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy \(x = 1.\)

Ta có: \(A:B = \left( {{x^5}{y^n} - 12{x^{n + 1}}{y^4}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right)\)\( = \left( {{x^5}{y^n}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right) - \left( {12{x^{n + 1}}{y^4}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{24}}{x^{6 - n}}{y^{n - 3}} - \dfrac{1}{2}{x^2}y\)

Để \(A\,\, \vdots \,\,B\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}6 - n \ge 0\\n - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \le 6\\n \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le n \le 6\)

Mà \(n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(n \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\)

Ta có \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:\left( {5{x^2}y} \right)\,\,\)

\( = \left( {{x^4}{y^{n + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 4{x^2}\)

\( = 2{x^{4 - 1}}{y^{n + 1 - n}} - {x^{3 - 3}}{y^{n + 2 - n}} - 4{x^2}\)

\( = 2xy - {y^2} - 4{x^2}\)\( =  - \left( {{y^2} - 2xy + {x^2} + 3{x^2}} \right) =  - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right]\)

Vì với \(x,y \ne 0\) thì \({\left( {x - y} \right)^2} + 3{x^2} > 0\) nên \( - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right] < 0;\,\forall x;y \ne 0\)

Hay giá trị của \(M\) luôn là số âm.