Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn điều kiện \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) là hình gì?
Đặt
$\begin{array}{l}z = a + bi;a,b \in R;{i^2} = - 1\\ \Rightarrow z - i = a + \left( {b - 1} \right)i\\ \Rightarrow z - \overline z + 2i = \left( {2 + 2b} \right)i\\ \Rightarrow \left| {z - \overline z + 2i} \right| = 2\left| {z - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2 + 2b} \right)}^2}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16b = 0 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{4}{a^2}\end{array}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường parabol
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).
Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.
Ta có : \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 \)
$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10$.
Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)\) nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$ có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).
Cho các số phức \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} = - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\). Diện tích tam giác ABC bằng:
Ta có \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} = - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\) nên \(A\left( {3; - 2} \right);\,\,B\left( {1;4} \right);\,\,C\left( { - 1;1} \right).\)
Khi đó ta có:
$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \\
AC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = 5\\
BC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {13}
\end{array}$
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\) ta có: \(p = \dfrac{{2\sqrt {10} + 5 + \sqrt {13} }}{2}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 9.\)
Cho số phức \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng
Ta có \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = {m^2} - m - 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {x^2} - 7x + 6\end{array} \right.\).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 7x + 6\)
Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng
\(S = \int\limits_1^6 {\left| {{x^2} - 7x + 6} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^6 {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{125}}{6}\)
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(M\) là điểm biểu diễn hình học của số phức \(z = - 1 + 2i\) và \(\alpha \) là góc lượng giác có tia đầu \(Ox,\) tia cuối \(OM.\) Tính \(\tan 2\alpha .\)
Ta có: \(z = - 1 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( { - 1;\,\,2} \right).\)
Ta có: \(\tan AOM = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{2}{1} = 2.\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = - \tan AOM = - 2\) (hai góc bù nhau)
\( \Rightarrow \tan 2\alpha = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{2.\left( { - 2} \right)}}{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}\)
Cho hai số phức \({z_1} = 3 + i,\)\({z_2} = - 1 + 2i\). Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn cho số phức \(w = 2{z_1} - {z_2}\) là:
Ta có
\(\begin{array}{l}w = 2{z_1} - {z_2}\\\,\,\,\,\, = 2\left( {3 + i} \right) - \left( { - 1 + 2i} \right)\\\,\,\,\,\, = 6 + 2i + 1 - 2i = 7\end{array}\)
Vậy điểm biểu diễn của số phức \(w\) là \(M\left( {7;0} \right)\).
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 6,\left| {{z_2}} \right| = 2\). Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1}\) và số phức \(i{z_2}\). Biết \(\widehat {MON} = {60^0}\). Tính \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right|\).
Ta chọn \({z_1} = 6\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {6;0} \right)\).
Khi đó \(\widehat {MON} = {60^0}\) nên chọn \(N\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) (hình vẽ) biểu diễn số phức \(i{z_2}\)
Suy ra điểm \(N'\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) biểu diễn số phức \({z_2}\) hay \({z_2} = \sqrt 3 - i\).
Khi đó \(T = \left| {z_1^2 + 9z_2^2} \right| = \left| {{6^2} + 9{{\left( {\sqrt 3 - i} \right)}^2}} \right| = 36\sqrt 3 \).
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\bar z = 1\) là:
Bước 1:
Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\) khi đó \(\overline z = x - yi\)
Bước 2:
Ta có: \(z.\overline z = 1 \Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {yi} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn.
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 1 + i,\) \(\,\,{z_2} = 1 + 2i,\)\({z_3} = 2 - i,\)\({z_4} = - 3i\). Gọi S diện tích tứ giác ABCD. Tính S.
Ta có: \(A\left( { - 1;1} \right);\,\,B\left( {1;2} \right);\,\,C\left( {2; - 1} \right);\,\,D\left( {0; - 3} \right)\)
Phương trình AB: \(\dfrac{{x + 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow x + 1 = 2y - 2 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\,\,AB = \sqrt 5 \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 = \dfrac{3}{2}\)
Phương trình BC: \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1 - 2}} \Leftrightarrow - 3x + 3 = y - 2 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0 \Rightarrow d\left( {O;BC} \right) = \dfrac{5}{{\sqrt {10} }};\,\,BC = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta OBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{5}{2}\)
Phương trình CD: \(\dfrac{{x - 2}}{{0 - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow - 2x + 4 = - 2y - 2 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;CD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }};\,\,CD = 2\sqrt 2 \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.2\sqrt 2 = 3\)
Phương trình AD: \(\dfrac{{x + 1}}{{0 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}} \Leftrightarrow - 4x - 4 = y - 1 \Leftrightarrow 4x + y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt {17} }};\,\,AD = \sqrt {17} \)
\( \Rightarrow {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {17} = \dfrac{3}{2}\)
Vậy \(S = {S_{\Delta OAB}} + {S_{\Delta OBC}} + {S_{\Delta OCD}} + {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{{17}}{2}\).
Cho các số phức \({z_1} = 2,{z_2} = - 4i,{z_3} = 2 - 4i\) có điểm biểu diễn tương ứng trên mặt phẳng tọa độ Oxy là A, B, C. Diện tích tam giác ABC bằng
Các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ: A(2;0), B(0;-4), C(2;-4).
Ta thấy tam giác ABC vuông tại C với độ dài hai cạnh góc vuông là: 2 và 4.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AC.BC = \dfrac{1}{2}.4.2 = 4\)
Cho các số phức z thỏa mãn |z|= 2 và điểm A trong hình vẽ là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ, điểm biểu diễn số phức \(w = \dfrac{{ - 4}}{z}\) là một trong bốn điểm M, N, P, Q
Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
Đặt \(z = x + yi\) \( = > {x^2} + {y^2} = 4 = > A\left( {x;y} \right)\)
Xét \(w = \dfrac{{ - 4}}{z} = \dfrac{{ - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{x + yi}}\) \( = \dfrac{{ - \left( {x+yi} \right)\left( {x - yi} \right)}}{{\left( {x + yi} \right)}} = - x + yi\)
Điểm biểu diễn số phức w đối xứng A qua Oy
=> Điểm M.
Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b.\)
Đáp án
Đáp án
Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho $\left| {{1+i}} \right|$
Thay vào giả thiết ta có:
$\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right|}}{{\left| {1 + i} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {1 + i} \right)z + 5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left| {z + \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 2 - 3i} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 3i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b = - 2 + 3 = 1\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 1\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {3 + 4i} \right)z + 2 + i\) là một đường tròn tâm \(I\), điểm \(I\) có tọa độ là $I(a;b)$, tính $a-b$
Đáp án: $a-b$
Đáp án: $a-b$
Bước 1: Biểu diễn z theo w.
\(w=\left( 3+4i \right)z+2+i\Leftrightarrow \left( 3+4i \right)z=w-2-i\Leftrightarrow z=\dfrac{w-2-i}{3+4i}\)
Bước 2: Biến đổi phương trình ban đầu thành dạng \(\left| w-\left( a+bi \right) \right|=R\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {z + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 - i}}{{3 + 4i}} + i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{w - 2 - i + 3i - 4}}{{3 + 4i}}} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {w - 6 + 2i} \right|}}{{\left| {3 + 4i} \right|}} = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( {6 - 2i} \right)} \right| = 5\end{array}\)
=> Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( 6;-2 \right)\) bán kính \(R=5\).
Vậy $a-b=8$
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn\(\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by+c=0\). Khi đó tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) bằng:
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1:
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)
Bước 2: Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a + 8b + 5 = 0\end{array}\)
Suy ra tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).
Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).
Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(z.\bar z = 1\) là đường tròn có bán kính là:
Đáp án:
Đáp án:
Gọi \(z = x + yi\left( {x;y \in R} \right)\) khi đó \(\overline z = x - yi\)
Ta có: \(z.\overline z = 1 \Leftrightarrow \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - {\left( {yi} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn có bán kính bằng 1.