Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} =  - 1 + i,\) \(\,\,{z_2} = 1 + 2i,\)\({z_3} = 2 - i,\)\({z_4} =  - 3i\). Gọi S diện tích tứ giác ABCD. Tính S.

Ta có: \(A\left( { - 1;1} \right);\,\,B\left( {1;2} \right);\,\,C\left( {2; - 1} \right);\,\,D\left( {0; - 3} \right)\)

Phương trình AB: \(\dfrac{{x + 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{2 - 1}} \Leftrightarrow x + 1 = 2y - 2 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AB} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\,\,AB = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;AB} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5  = \dfrac{3}{2}\) 

Phương trình BC: \(\dfrac{{x - 1}}{{2 - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1 - 2}} \Leftrightarrow  - 3x + 3 = y - 2 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0 \Rightarrow d\left( {O;BC} \right) = \dfrac{5}{{\sqrt {10} }};\,\,BC = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OBC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;BC} \right).BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{5}{{\sqrt {10} .\sqrt {10} }} = \dfrac{5}{2}\) 

Phương trình CD: \(\dfrac{{x - 2}}{{0 - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 3 + 1}} \Leftrightarrow  - 2x + 4 =  - 2y - 2 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;CD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt 2 }};\,\,CD = 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}.2\sqrt 2  = 3\)

Phương trình AD: \(\dfrac{{x + 1}}{{0 + 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 3 - 1}} \Leftrightarrow  - 4x - 4 = y - 1 \Leftrightarrow 4x + y + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {O;AD} \right) = \dfrac{3}{{\sqrt {17} }};\,\,AD = \sqrt {17} \)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {17}  = \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(S = {S_{\Delta OAB}} + {S_{\Delta OBC}} + {S_{\Delta OCD}} + {S_{\Delta OAD}} = \dfrac{{17}}{2}\).