Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b.\)

Đáp án 

Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho $\left| {{1+i}} \right|$

Thay vào giả thiết ta có:

$\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right|}}{{\left| {1 + i} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {1 + i} \right)z + 5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left| {z + \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 2 - 3i} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 3i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(a + b =  - 2 + 3 = 1\).