Mặt nón, khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\)

Giả sử \(O\) là tâm đáy và \(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân \(SAM\). Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy \(R = OA = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {ASB} = 120^\circ \) nên \(\widehat {ASO} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(SOA\) vông tại \(O\), ta có \(\sin 60^\circ  = \dfrac{{OA}}{{SA}}\)\( \Rightarrow SA = \dfrac{{OA}}{{\sin 60^\circ }} = 4a\).

Diện tích thiết diện là \({S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = \dfrac{1}{2}.4a.4a.\sin \widehat {ASM} = 8{a^2}.\sin \widehat {ASM}\)

Do \(0 < \sin \widehat {ASM} \le 1\) nên \({S_{SAM}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat {ASM} = 1\) hay khi tam giác \(ASM\) vuông cân đỉnh \(S\) (vì \(\widehat {ASB} = 120^\circ  > 90^\circ \) nên tồn tại tam giác \(ASM\) thoả mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là \({S_{\max }} = 8{a^2}{\mkern 1mu} \)(đvdt).

Áp dụng công thức \({S_{xq}} = \pi rl\) ta được: \({S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi $r_1$ là bán kính đáy phễu, $r_2$ là bán kính đáy phần nước, $h_1$ và $h_2$ là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có \(\dfrac{{{r_2}}}{{{r_1}}} = \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {r_2} = \dfrac{1}{3}{r_1}\)

Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là: \(\dfrac{1}{3}\pi r_1^2{h_1} - \dfrac{1}{3}\pi r_2^2{h_2} = 5\pi r_1^2 - \dfrac{5}{3}\pi {\left( {\dfrac{{{r_1}}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{130}}{{27}}\pi r_1^2 = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) với $r, h$ là bán kính và chiều cao của hình nón không chứa nước \( \Rightarrow {r^2}h = \dfrac{{130}}{9}r_1^2\)

Ta có \(\dfrac{r}{{{r_1}}} = \dfrac{h}{{{h_1}}} \Rightarrow r = \dfrac{{{r_1}h}}{{15}} \Rightarrow \dfrac{{r_1^2{h^3}}}{{225}} = \dfrac{{130}}{9}r_1^2 \Leftrightarrow h = 14,812\,\left( {cm} \right)\)

Vậy chiều cao của nước sau khi úp phếu xuống là $15 – 14,812 = 0,188 (cm)$

Gọi thể tích của phễu là $V,$ bán kính đáy phễu là $R,$ bán kính của cột nước có dạng khối nón trong H1 là $R_1$

Ta có: \(\dfrac{{10}}{{20}} = \dfrac{{{R_1}}}{R} = \dfrac{1}{2}\)

Gọi $V_1$ là thể tích của nước ta có:

\(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_1^2.10}}{{\dfrac{1}{3}\pi{R^2}.20}} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{R}} \right)^2}= \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{8}V\)

Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là \({V_2} = V - {V_1} = \dfrac{7}{8}V\)

Gọi $h, R_2$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở H2 ta có

\(\dfrac{{{R_2}}}{R} = \dfrac{h}{{20}}\) và : \(\dfrac{{{V_2}}}{V}= \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_2^2h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}.20}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{R_2}}}{R}} \right)^2}.\dfrac{h}{{20}} =\dfrac{7}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{{h^3}}}{{{{20}^3}}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow h = 10\sqrt[3]{7}\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của cột nước trong H2 là \(20 - 10\sqrt[3]{7}cm\) .

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy \(r\) và độ dài đường sinh \(l\) là: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\)

* Xét  mặt phẳng (ABD):

Gọi C’ là điểm ở trong (ABD) sao cho: C’B vuông góc AB và C’B = BC = a.

Gọi $K = AC' \cap BD,\,\,IK \bot AB\,\,(I \in AB)$

Theo Ta – lét ta có: 

$\dfrac{{IK}}{{BC'}} = \dfrac{{IA}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{IB}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{KI}}{{3BC'}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\dfrac{{KI}}{{BC'}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{KI}}{{BC'}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow IK = \dfrac{3}{4}a$

Thể tích của phần chung là:

$V = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IA + \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IB = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.AB = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}$

Áp dụng công thức \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\) ta được: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.2 + \pi {.1^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \)

Do đó \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5  + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi \)

Công thức tính thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

(Quan sát kí hiệu trên hình vẽ)

Áp dụng định lí Ta lét ta có:

$\dfrac{{O'B'}}{{OB}} = \dfrac{{O'A}}{{OA}} = \dfrac{{h'}}{h} = \dfrac{{h'}}{{40}}$ $(OA = h, O’A = h’< 40cm)$

Tỉ số thể tích giữa 2 khối nón:

$\begin{array}{l}\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi .O'B{'^2}.O'A}}{{\dfrac{1}{3}\pi .O{B^2}.OA}} = \dfrac{{O'B{'^2}.O'A}}{{O{B^2}.OA}} = {\left( {\dfrac{{O'B'}}{{OB}}} \right)^2}.\dfrac{{O'A}}{{OA}} = {\left( {\dfrac{{h'}}{{40}}} \right)^2}.\dfrac{{h'}}{{40}} = \dfrac{1}{8}\\ \Rightarrow h{'^3} = \dfrac{{{{40}^3}}}{8} = {20^3} \Rightarrow h' = 20\,\,(cm)\end{array}$

Vậy chiều cao $h$ của hình nón ${N_2}$ là: $20cm.$

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.3 = 4\pi c{m^3}\) 

Ta có: \({l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{3}{S_d}.\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)

Hình nón thu được có đường sinh $l = AB = a$; bán kính đáy

$r = OB = AB.\sin 30^\circ  = \dfrac{a}{2}$ và diện tích xung quanh là

${S_{xq}} = \pi rl = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$

$r = \sqrt {\dfrac{{9\pi }}{\pi }}  = 3 \Rightarrow l = 2r = 6;h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = 3\sqrt 3 $

Độ dài đường cao của hình nón cũng chính là chiều cao của tam giác đều \( \Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy của nón.

Gọi $H$ là tâm đáy nón $ \Rightarrow H$ là trung điểm $BC,AH \bot BC$

Ta có $HB = HC = 1,AH = 2$ . Ta có

$\begin{array}{l}2\varphi  = \angle BAC \Rightarrow \varphi  = \angle HAC\\AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt 5 \\\cos \varphi  = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy nón.

Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, ${O_1},{O_2}$ lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, ${D_1},{D_2}$ lần lượt là tiếp điểm của $AC$ với $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$.

Vì ${O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}$ (cùng vuông góc với $AC$) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \dfrac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \)

\(\Rightarrow {O_2}\) là trung điểm của \(A{O_1}\)\( \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a\)

\( \Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a\)

Xét tam giác vuông \(A{O_1}{D_1}\) có: \(A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2}  = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}}  = 4\sqrt 2 a\)

Dễ thấy:

$\Delta A{O_1}{D_1} \backsim \Delta ACH\,\,\left( {g.g} \right)$$ \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{{AH}}{{A{D_1}}}$$ \Rightarrow HC = \dfrac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \dfrac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r$

Ta có: \({S_{xq}} = \pi rl = 3\pi {a^2} = \pi al \Rightarrow l = 3a\)

Ta có: Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và :

$\begin{array}{l}OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R)\end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

\(\begin{array}{l}
f\left( r \right) = {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R} \right)\\
= {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\
\Rightarrow f'\left( r \right) = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + \left( {{r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}} \right)'\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)
\end{array}\)

$f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 0$

$ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}$

$\Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \to h = \dfrac{{4{\rm{R}}}}{3}.$