Mặt nón, khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là: ${S_{xq}} = \pi rl$

Giả sử $O$ là tâm đáy và $AB$ là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân $SAM$. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy $R = OA = 2a\sqrt 3$, $\widehat {ASB} = 120^\circ$ nên $\widehat {ASO} = 60^\circ$.

Xét tam giác $SOA$ vông tại $O$, ta có $\sin 60^\circ  = \dfrac{{OA}}{{SA}}$$\Rightarrow SA = \dfrac{{OA}}{{\sin 60^\circ }} = 4a$.

Diện tích thiết diện là ${S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = \dfrac{1}{2}.4a.4a.\sin \widehat {ASM} = 8{a^2}.\sin \widehat {ASM}$

Do $0 < \sin \widehat {ASM} \le 1$ nên ${S_{SAM}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \widehat {ASM} = 1$ hay khi tam giác $ASM$ vuông cân đỉnh $S$ (vì $\widehat {ASB} = 120^\circ  > 90^\circ$ nên tồn tại tam giác $ASM$ thoả mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là ${S_{\max }} = 8{a^2}{\mkern 1mu}$(đvdt).

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Gọi $r_1$ là bán kính đáy phễu, $r_2$ là bán kính đáy phần nước, $h_1$ và $h_2$ là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có $\dfrac{{{r_2}}}{{{r_1}}} = \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}} = \dfrac{5}{{15}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {r_2} = \dfrac{1}{3}{r_1}$

Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là: $\dfrac{1}{3}\pi r_1^2{h_1} - \dfrac{1}{3}\pi r_2^2{h_2} = 5\pi r_1^2 - \dfrac{5}{3}\pi {\left( {\dfrac{{{r_1}}}{3}} \right)^2} = \dfrac{{130}}{{27}}\pi r_1^2 = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ với $r, h$ là bán kính và chiều cao của hình nón không chứa nước $\Rightarrow {r^2}h = \dfrac{{130}}{9}r_1^2$

Ta có $\dfrac{r}{{{r_1}}} = \dfrac{h}{{{h_1}}} \Rightarrow r = \dfrac{{{r_1}h}}{{15}} \Rightarrow \dfrac{{r_1^2{h^3}}}{{225}} = \dfrac{{130}}{9}r_1^2 \Leftrightarrow h = 14,812\,\left( {cm} \right)$

Vậy chiều cao của nước sau khi úp phếu xuống là $15 – 14,812 = 0,188 (cm)$

Gọi thể tích của phễu là $V,$ bán kính đáy phễu là $R,$ bán kính của cột nước có dạng khối nón trong H1 là $R_1$

Ta có: $\dfrac{{10}}{{20}} = \dfrac{{{R_1}}}{R} = \dfrac{1}{2}$

Gọi $V_1$ là thể tích của nước ta có:

$\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_1^2.10}}{{\dfrac{1}{3}\pi{R^2}.20}} = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{R}} \right)^2}= \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{8}V$

Sau khi úp ngược phễu lên, thể tích của phần không có nước có dạng khối nón có thể tích là ${V_2} = V - {V_1} = \dfrac{7}{8}V$

Gọi $h, R_2$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước ở H2 ta có

$\dfrac{{{R_2}}}{R} = \dfrac{h}{{20}}$ và : $\dfrac{{{V_2}}}{V}= \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi R_2^2h}}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}.20}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow {\left( {\dfrac{{{R_2}}}{R}} \right)^2}.\dfrac{h}{{20}} =\dfrac{7}{8} \Leftrightarrow \dfrac{{{h^3}}}{{{{20}^3}}} = \dfrac{7}{8} \Rightarrow h = 10\sqrt[3]{7}$

$\Rightarrow$ Chiều cao của cột nước trong H2 là $20 - 10\sqrt[3]{7}cm$ .

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là: ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$

* Xét  mặt phẳng (ABD):

Gọi C’ là điểm ở trong (ABD) sao cho: C’B vuông góc AB và C’B = BC = a.

Gọi $K = AC' \cap BD,\,\,IK \bot AB\,\,(I \in AB)$

Theo Ta – lét ta có: 

$\dfrac{{IK}}{{BC'}} = \dfrac{{IA}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{IB}}{{AB}} = 1 - \dfrac{{KI}}{{3BC'}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}\dfrac{{KI}}{{BC'}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{KI}}{{BC'}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow IK = \dfrac{3}{4}a$

Thể tích của phần chung là:

$V = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IA + \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.IB = \dfrac{1}{3}\pi I{K^2}.AB = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{16}}$

Áp dụng công thức ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}$ ta được: ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.2 + \pi {.1^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5$

Do đó ${S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .1.\sqrt 5  + \pi {.1^2} = \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\pi$

Công thức tính thể tích khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

(Quan sát kí hiệu trên hình vẽ)

Áp dụng định lí Ta lét ta có:

$\dfrac{{O'B'}}{{OB}} = \dfrac{{O'A}}{{OA}} = \dfrac{{h'}}{h} = \dfrac{{h'}}{{40}}$ $(OA = h, O’A = h’< 40cm)$

Tỉ số thể tích giữa 2 khối nón:

$\begin{array}{l}\dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi .O'B{'^2}.O'A}}{{\dfrac{1}{3}\pi .O{B^2}.OA}} = \dfrac{{O'B{'^2}.O'A}}{{O{B^2}.OA}} = {\left( {\dfrac{{O'B'}}{{OB}}} \right)^2}.\dfrac{{O'A}}{{OA}} = {\left( {\dfrac{{h'}}{{40}}} \right)^2}.\dfrac{{h'}}{{40}} = \dfrac{1}{8}\\ \Rightarrow h{'^3} = \dfrac{{{{40}^3}}}{8} = {20^3} \Rightarrow h' = 20\,\,(cm)\end{array}$

Vậy chiều cao $h$ của hình nón ${N_2}$ là: $20cm.$

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.3 = 4\pi c{m^3}$ 

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{3}{S_d}.\sqrt {{l^2} - {r^2}}$

Hình nón thu được có đường sinh $l = AB = a$; bán kính đáy

$r = OB = AB.\sin 30^\circ  = \dfrac{a}{2}$ và diện tích xung quanh là

${S_{xq}} = \pi rl = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$

$r = \sqrt {\dfrac{{9\pi }}{\pi }}  = 3 \Rightarrow l = 2r = 6;h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = 3\sqrt 3$

Độ dài đường cao của hình nón cũng chính là chiều cao của tam giác đều $\Rightarrow h = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}$

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón đã cho là $\Delta ABC$ cân tại $A$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy của nón.

Gọi $H$ là tâm đáy nón $\Rightarrow H$ là trung điểm $BC,AH \bot BC$

Ta có $HB = HC = 1,AH = 2$ . Ta có

$\begin{array}{l}2\varphi  = \angle BAC \Rightarrow \varphi  = \angle HAC\\AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt 5 \\\cos \varphi  = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\end{array}$

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ với $A$ là đỉnh nón, $BC$ là đường kính đáy nón.

Gọi $H$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, ${O_1},{O_2}$ lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, ${D_1},{D_2}$ lần lượt là tiếp điểm của $AC$ với $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$.

Vì ${O_1}{D_1}//{O_2}{D_2}$ (cùng vuông góc với $AC$) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

$\Rightarrow \dfrac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \dfrac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow {O_2}$ là trung điểm của $A{O_1}$$\Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a$

$\Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a$

Xét tam giác vuông $A{O_1}{D_1}$ có: $A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2}  = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}}  = 4\sqrt 2 a$

Dễ thấy:

$\Delta A{O_1}{D_1} \backsim \Delta ACH\,\,\left( {g.g} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \dfrac{{AH}}{{A{D_1}}}$$\Rightarrow HC = \dfrac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \dfrac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r$

Ta có: ${S_{xq}} = \pi rl = 3\pi {a^2} = \pi al \Rightarrow l = 3a$

Ta có: Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và :

$\begin{array}{l}OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R)\end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

$\begin{array}{l} f\left( r \right) = {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R} \right)\\ = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\ \Rightarrow f'\left( r \right) = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R} \right)'\\ = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + \left( {{r^2}R} \right)'\\ = \left( {{r^2}} \right)'\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + 2rR\\ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\ = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\ = r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right) \end{array}$

$f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 0$

$\Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}$

$\Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \to h = \dfrac{{4{\rm{R}}}}{3}.$