Trung điểm của đoạn thẳng

Vì hai điểm $M;N$ cùng thuộc tia $Ox$ mà $OM < ON\left( {2cm < 3cm} \right)$ nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$.

Do đó $OM + MN = ON \Rightarrow MN = ON - OM$ $ = 3 - 2 = 1cm$

Vì hai tia $NP$ và $NO$ đối nhau mà $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$ nên $N$ là điểm nằm giữa $M$ và $P$

Do đó $MN + NP = MP$ hay $MP = 1 + 1 = 2cm$.

Vậy $MN = 1cm;\,MP = 2cm$.

\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM + MB = AB\\{\rm{MA  =  MB}}\end{array} \right.$

Từ câu trước và đề bài ta có  $MN = 1cm;\,MP = 2cm;\,OM = 2cm;NP = 1cm$

Suy ra $MN = NP\left( { = 1cm} \right)\,\,\,\left( 1 \right);\,MP = OM\left( { = 2cm} \right)\,\left( 2 \right)$

Lại có $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N$ mà $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$ nên điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $P$ (3)

Từ (2) và (3) ta có $M$ là trung điểm đoạn $OP.$

Theo câu trước ta có $N$ là điểm nằm giữa $M$ và $P$ nên kết hợp với $\left( 1 \right)$ suy ra $N$ là trung điểm đoạn $MP$.

Nên cả A, B đều đúng.

M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi điểm M nằm giữa hai điểm A và B, đồng thời M cách đều hai điểm A và B.

Ta có: nếu \(MP = NP = \dfrac{{MN}}{2}\) thì \(P\) là trung điểm của \(MN\).

Suy ra P nằm giữa M và N nên A, B đều đúng.

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) \( \Leftrightarrow {\rm{MB  = }}\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}. 10 = 5cm\)

Vậy \(MB = 5cm\).

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) nên \(IM = IN = \dfrac{1}{2}MN\) hay \(MN = 2. IN = 2.11 = 22cm\).

Vì hai điểm \(A,B\) cùng thuộc tia \(Ox\) mà \(OB < OA\,\left( {4cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(A\)  (1)

Do đó \(OB + AB = OA\)\( \Rightarrow AB = OA - OB = 8 - 4 = 4cm\). Suy ra \(OB = AB = 4cm\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(B\) là trung điểm của đoạn \(OA\).

Vì \(N\) là trung điểm đoạn \(AM\) nên \(AN = \dfrac{1}{2}AM\) hay \(AM = 2AN = 2.3 = 6cm\)

Lại có điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên ta có: \(AM = \dfrac{1}{2}AB\) hay \(AB = 2AM = 2.6 = 12cm\)

Vậy \(AB = 12cm\).

Vì điểm \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(AI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}. 20 = 10cm\)

Vì điểm \(K\) là trung điểm đoạn thẳng \(AI\) nên \(AK = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{1}{2}. 10 = 5cm\)

Vậy \(AI = 5cm\).

Vì điểm \(B\) thuộc tia \(AM\) mà \(AM < AB\left( {9cm < 18cm} \right)\) nên điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) (1)

Do đó \(AM + MB = AB\) \( \Rightarrow MB = AB - AM = 18 - 9 = 9cm\). Suy ra \(AM = MB = 9cm\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\).

Vậy B sai.

Vì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) nên \(HN = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2} \cdot 7 = 3,5\,cm\).

Vì \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NP\) nên \({\rm{NK}} = \dfrac{1}{2}NP = \dfrac{1}{2} \cdot 11 = 5,5\,cm\).

Ta có: \(N\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(P\) nên \(NM\) và \(NP\) là hai tia đối nhau (1)

Vì \(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(H\) thuộc \(NM\) (2)

Vì \(K\) là trung điểm của \(NP\) nên \(K\) thuộc \(NP\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(N\) là điểm nằm giữa hai điểm \(H\) và \(K.\)

\( \Rightarrow HN + NK = HK\) \( \Rightarrow 3,5 + 5,5 = HK\) \( \Rightarrow HK = 9\,cm.\)

Từ câu trước và đề bài ta có: \(MN = 4cm;\,MP = 8cm;\,OM = 4cm;NP = 4cm\)

Suy ra \(MN = OM\left( { = 4cm} \right)\,\,;\,NP = MN\left( { = 4cm} \right)\,\)

Lại có: \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\) mà \(N\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(P\) nên điểm \(M\) và N lần lượt là trung điểm của đoạn ON và MP.

Nên cả A, C đều đúng.

Vì hai điểm \(M;N\) cùng thuộc tia \(Ox\) mà \(OM < ON\left( {4cm < 8cm} \right)\) nên điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\).

Do đó \(OM + MN = ON \Rightarrow MN = ON - OM\) \( = 8 - 4 = 4cm\)

Vì hai tia \(NP\) và \(NO\) đối nhau mà \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(N\) nên \(N\) là điểm nằm giữa \(M\) và \(P\).

Do đó \(MN + NP = MP\) hay \(MP = 4 + 4 = 8cm\).

Vậy \(MN = 4cm;\,MP = 8cm\).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) nên ta có: \(OM = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.10 = 5cm\)

Vì \(A\) và \(M\) cùng thuộc tia \(Ox\) mà \(OM < OA\,\left( {5cm < 7cm} \right)\) nên điểm \(M\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(A\).

Do đó \(OM + AM = OA\) \( \Rightarrow AM = OA - OM = 7 - 5 = 2cm\)

Vậy \(AM = 2cm.\)

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\) nên \(OI = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{1}{2}.a = \dfrac{a}{2}cm\)

Vì \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) nên \(OK = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.b = \dfrac{b}{2}cm\)

Vì \(Ox\) và \(Oy\) là hai tia đối nhau suy ra \(OA\) và \(OB\) là hai tia đối nhau.

Mà \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\) và \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OB\) nên \(OI\) và \(OK\) cũng là hai tia đối nhau suy ra điểm \(O\) nằm giữa hai điểm \(I\) và \(K\).

Do đó \(IO + OK = IK\) hay \(IK = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} = \dfrac{{a + b}}{2}cm\).

Vậy \(IK = \dfrac{{a + b}}{2}cm.\)

Vì điểm \(M\) là trung điểm đoạn \(OA\) nên \(OM = \dfrac{1}{2}OA\) hay \(OA = 2.OM\)

Vì điểm \(N\) là trung điểm đoạn \(OB\) nên \(ON = \dfrac{1}{2}OB\) hay \(OB = 2.ON\)

Mà \(O\) là điểm nằm giữa \(A\) và \(B\) nên \(OA + OB = AB\) suy ra \(2.OM + 2.ON = AB\)

\( \Rightarrow 2.\left( {OM + ON} \right) = 24\) \( \Rightarrow OM + ON = 12\) (1)

Vì \(OA\) và \(OB\) là hai tia đối nhau mà \(M\) là trung điểm đoạn \(OA\) và \(N\) là trung điểm đoạn \(OB\) nên \(OM\) và \(ON\) là hai tia đối nhau suy ra \(O\) nằm giữa \(M\) và \(N\). Suy ra \(OM + ON = MN\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OM + ON = MN = 12cm\).

Vậy \(MN = 12cm.\)

Vì điểm \(N\) nằm giữa hai điểm \(A,{\rm{ }}B\;\)
nên \(AN + NB = AB \Rightarrow NB = AB - AN = 15 - 3 = 12cm\).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NB\) nên \(MB = MN = \dfrac{1}{2}NB = \dfrac{1}{2}.12 = 6cm\).

Vì P là trung điểm của \(MN\) nên \(MP = \dfrac{1}{2}NM = \dfrac{1}{2}.6 = 3cm\).

Suy ra \(MP = 3cm;MB = 6cm\).

Ta có \(P\) là trung điểm của \(MN\) thì \(MP = NP = \dfrac{{MN}}{2}\)

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\)  $ \Leftrightarrow {\rm{AM  = }}\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.12 = 6cm$

Vậy $AM = 6cm$.