Các dạng toán về ước chung, ước chung lớn nhất

Ta có:

Ư$(6) = \left\{ {{\rm{1,2,3,6}}} \right\}$ và Ư${\rm{(20) = }}\left\{ {{\rm{1,2,4,5,10,20}}} \right\}$

Vậy ƯC${\rm{(6,20) = }}\left\{ {{\rm{1,2}}} \right\}$

Ta có: $15 = 3.5;$ $45 = {3^2}.5;$ $225 = {5^2}{.3^2}$

Nên ƯCLN$\left( {15;45;225} \right) = 3.5 = 15.$

Ta có $a = {3^2}.5.7;b = {2^4}.3.7$ nên ƯCLN$\left( {a,b} \right) = 3.7$

Gọi $C = A \cap B$

Vậy $C = \{$toán, văn$\}$

Ta có $18 \, \vdots \, x \Rightarrow x \in$ Ư$\left( {18} \right)$; $32 \, \vdots \, x$$\Rightarrow x \in$ Ư$\left( {32} \right)$ suy ra $x \in$ ƯC$\left( {18;32} \right)$

Mà $x$ lớn nhất nên $x =$ ƯCLN$\left( {18;32} \right)$

Ta có $18 = {2.3^2};\,32 = {2^5}$ nên ƯCLN$\left( {18;32} \right) = 2$

Hay $x = 2.$

Vì $x + 220$ và $x + 180$ đều là bội của $x$ nên $\left( {x + 220} \right) \vdots \, x$ và $\left( {x + 180} \right) \vdots \, x$
Vì $x \, \vdots \, x$ $\Rightarrow 220 \, \vdots \, x$ và $180 \, \vdots \, x$
$\Rightarrow x \in$ ƯC$\left( {220;180} \right)$
Vì $x$ lớn nhất $\Rightarrow x \in$ƯCLN$\left( {220;180} \right)$
$220 = {2^2}.5.11$ ; $180 = {2^2}.3^2.5$
$\Rightarrow x =$ƯCLN$\left( {220;180} \right) =$ ${2^2}.5 = 20$

+) Vì $120 \, \vdots \, x$ nên $x \in$Ư$\left( {120} \right)$$= \left\{ {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120} \right\}$

+) Vì $200 \, \vdots \, x$ nên $x \in$Ư$\left( {200} \right)$$= \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;25; 40;50;100;200} \right\}$

Nên $x \in$ƯC$\left( {120;200} \right) = \left\{ {1;2;4;5;8;10;20;40} \right\}$ mà $x < 40$ nên $x \in \left\{ {1;2;4; 5;8;10;20} \right\}.$

Ta có: 
Gọi chiều dài viên gạch là $x.$
Để lát kín căn phòng mà không có có viên gạch nào bị cắt xén thì $x$ phải là ước của chiều dài và chiều rộng căn phòng 
Hay $680 \, \vdots \, x$ và $480 \, \vdots \, x$
$\Rightarrow x \in$ ƯC$\left( {680;480} \right)$
Để x là lớn nhất $\Rightarrow x =$ƯCLN$\left( {680;480} \right)$
Ta có: $680 = {2^3}.5.17;$ $480 = {2^5}.3.5$
$\Rightarrow x =$ ƯCLN$\left( {680;480} \right)$$= {2^3}.5 = 40$
Vậy để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài cạnh viên gạch lớn nhất là $40$ $cm.$

Gọi cạnh mỗi thửa đất hình vuông chia được là $x$$\left( m \right)$
Để diện tích các thửa đất đó là lớn nhất thì $x$ phải lớn nhất 
Vì các thửa đất đó được chia ra từ đám đất hình chữ nhật ban đầu có chiều dài $60$m và $24$m 
Nên $x$ phải là ước của $60$ và $24$ 
Hay $x \in$ƯC$\left( {60;24} \right)$
Vì $x$ là lớn nhất nên $x =$  ƯCLN$(60;24)$  
Ta có: $60 = {2^2}.3.5$; $24 = {2^3}.3$ 
$\Rightarrow x =$ ƯCLN$\left( {60;24} \right) = {2^2}.3 = 12.$
Vậy mỗi thửa đất hình vuông đó có độ dài cạnh lớn nhất là $12m.$

Ta có: 
Gọi số túi mà Hoa chia được là $x$  (túi) 
Vì số bi mỗi màu ở mỗi túi cũng bằng nhau nên $48 \vdots x$ ; $30 \vdots x$ và $60 \vdots x$
$\Rightarrow x \in$ ƯC$\left( {48;30;60} \right)$
Vì $x$  là lớn nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {48;30;60} \right)$
Ta có: $48 = {2^4}.3$; $30 = 2.3.5$ ; $60 = {2^2}.3.5$
$\Rightarrow x =$ƯCLN$\left( {48;30;60} \right) = 2.3 = 6$.
Vậy Hoa chia được nhiều nhất là $6$ túi mà mỗi túi có số bi mỗi màu bằng nhau.

Ta có $44 = {2^2}.11;\,56 = {2^3}.7$ nên ƯCLN$\left( {44;56} \right) = {2^2} = 4.$

Lại có $48 = {2^4}.3;\,72 = {2^3}{.3^2}$ nên ƯCLN$\left( {48;72} \right) = {2^3}.3 = 24.$

Nên ƯCLN$\left( {44;56} \right) <$ ƯCLN$\left( {48;72} \right)$

Ta có: 
Vì $x + 160$ và $x + 300$ đều là bội của $x$  nên $\left( {x + 160} \right) \vdots x$ và $\left( {x + 300} \right) \vdots x$
Vì $x \vdots x \Rightarrow 160 \vdots x$ và $300 \vdots x$
$\Rightarrow x \in$ ƯC$\left( {160;300} \right)$ 
Vì $x$ lớn nhất $\Rightarrow x =$ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$
$160 = {2^5}.5$ và $300 = {2^2}{.3.5^2}$
$\Rightarrow x =$ ƯCLN$\left( {160;300} \right)$$= {2^2}.5 = 20$

Ta có: 
Gọi số nhóm chia được là $x$ (nhóm) 
Vì có $18$ nam mà số nam ở mỗi nhóm bằng nhau nên $18 \vdots x$
Vì có $24$  nữ mà số nữ ở mỗi nhóm bằng nhau nên $24 \vdots x$
$\Rightarrow x \in$ƯC$\left( {18;24} \right)$
Vì $x$  là lớn nhất nên $x =$ ƯCLN$\left( {18;24} \right)$
Ta có: $18 = {2.3^2}$ ; $24 = {2^3}.3$
$\Rightarrow x =$ ƯCLN$\left( {18;24} \right) = 2.3 = 6$
Vậy chia được nhiều nhất là $6$  nhóm .

Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là ước chung lớn nhất của $40;48$ và $32.$

Ta có $40 = {2^3}.5;$ $48 = {2^4}.3;\,32 = {2^5}.$

ƯCLN$\left( {40;48;32} \right) = {2^3} = 8$

Vậy số hàng dọc nhiều nhất mỗi lớp xếp được là $8$ hàng.

ƯCLN(48,108)=12

=>$\dfrac{{48}}{{108}} = \dfrac{4}{9}$

ƯCLN(80,180)=20

=> $\dfrac{{80}}{{180}} = \dfrac{4}{9}$

ƯCLN(60,130)=10

=>$\dfrac{{60}}{{130}} = \dfrac{6}{{13}}$

ƯCLN(135,270)=135

=>$\dfrac{{135}}{{270}} = \dfrac{1}{2}$

Phân số  $\dfrac{4}{9}$  bằng các phân số $\dfrac{{48}}{{108}};\dfrac{{80}}{{180}}$.

Vậy có 2 phân số bằng $\dfrac{4}{9}$