Bài tập cuối chương II

Ta có:

$\begin{array}{l}9 = {3^2};24 = {2^3}.3\\ \Rightarrow BCNN\left( {9;24} \right) = {2^3}{.3^2} = 8.9 = 72\end{array}$

$36 = {2^2}{.3^2};60 = {2^2}.3.5;72 = {2^3}{.3^2}$

Ta số thừa số chung là $2;3$

Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$; số mũ nhỏ nhất của $3$  là $1$

Vậy $UCLN\left( {36;60;72} \right) = {2^2}.3$.

Ta có $18 = {2.3^2};32 = {2^5};50 = {2.5^2}$

Nên $BCNN\left( {18;32;50} \right) = {2^5}{.3^2}{.5^2} = 7200.$

Vì $7200$ chia hết cho $10$ nên $C$ đúng.

Ta có: Để $\overline {2a4b}$ chia hết cho $2$ và $5$ thì $b = 0\;$
Thay $b = 0\;$ vào $\overline {2a4b}$ ta được $\overline {2a40}$
Tổng các chữ số là: $2 + a + 4 + 0 = a + 6$
Thử lần lượt các giá trị $a = 0,1,2,...,9$
Ta thấy với $a = 3$ thì  tổng các chữ số của $\overline {2a40}  = 2340$  là: $6 + 3 = 9\, \vdots \,9$

Nên $2340$ chia hết cho $3$ và $9$.

Vậy với $a = 3;b = 0$ thì $\overline {2a4b}$ chia hết cho $2;3;5$ và $9.$

Vì $525\,\; \vdots \;\,a;{\rm{ }}875\;\, \vdots \;\,a;{\rm{ }}280\,\; \vdots \;\,a\;$ và $a$ là số lớn nhất$\Rightarrow a = ƯCLN\left( {525;{\rm{ }}875;{\rm{ }}280} \right)$ 
Ta có: 

Nên $525 = {3.5^2}.7;875 = {5^3}.7;280 = {2^3}.5.7$  
$\Rightarrow \;a =$ ƯCLN$\left( {525;875;280} \right) = 5.7 = 35\;$

Do $x \vdots 5;x \vdots 6 \Rightarrow x \in BC\left( {5;6} \right) = \left\{ {0;30;60;90;120;...} \right\}$

Mà $0 < x < 100$ nên $x \in \left\{ {30;60;90} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {30;60;90} \right\}$.

Ta có $A = 18 + 36 + 72 + 2x$ mà $A \vdots 9;18 \vdots 9;36 \vdots 9;72 \vdots 9 \Rightarrow 2x \vdots 9 \Rightarrow x \vdots 9$

Mà $45 < x < 55 \Rightarrow x = 54$

Vậy $x = 54$.

Gọi số học sinh khối 6 là $x\left( {x \in {N^*}} \right)$ (học sinh)

Theo bài ra ta có:

$x \vdots 10,x \vdots 12;x \vdots 15 \Rightarrow x \in BC\left( {10;12;15} \right)$ và $100 \le x \le 150$.

Ta có

$\begin{array}{l}10 = 2.5;12 = {2^2}.3;15 = 3.5\\ \Rightarrow BCNN(10;12;15) = {2^2}.3.5 = 60\\ \Rightarrow BC\left( {10;12;15} \right) = \left\{ {0;60;120;180;...} \right\}\\ \Rightarrow x \in  \left\{ {0;60;120;180;...} \right\} \end{array}$

Mà $100 \le x \le 150$ nên $x = 120$.

Vậy số học sinh khổi 6 là $120$ bạn.

Gọi số đĩa cần chẩn bị là x cái $\left( {x \in {N^*}} \right)$  
Vì số bánh, kẹo và quýt được chia đều vào các đĩa nên: $840\;\, \vdots x{\rm{ }};{\rm{ }}2352\,\; \vdots \;x{\rm{ }};{\rm{ }}560\;\, \vdots \;x$  
Và $x$ là lớn nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {840;2352;560} \right)$
Ta có: $840 = {2^3}.3.5.7;560 = {2^4}.5.7;2352 = {2^4}{.3.7^2}$

Suy ra  ƯCLN$\left( {840;{\rm{ }}2352;{\rm{ }}560} \right){\rm{ }} = \;{2^3}.7\; = 56$
Vậy số đĩa nhiều nhất cần chuẩn bị là $56$ .

Gọi $d = UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}14n + 3\, \vdots \,d\\21n + 4 \, \vdots \, d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}3\left( {14n + 3} \right) \vdots \, d\\2\left( {21n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}42n + 9 \,\vdots \, d\\42n + 8 \, \vdots \, d\end{array} \right\}\\\Rightarrow\left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1\end{array}$

Vậy $ƯCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$ hay hai số đó là hai số nguyên tố cùng nhau.