Các dạng toán về so sánh phân số

$\dfrac{{17}}{{ - 25}} = \dfrac{{ - 17}}{{25}}$

Vì $- 12 >  - 17$ nên $\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{ - 17}}{{25}}$ hay $\dfrac{{ - 12}}{{25}} > \dfrac{{17}}{{ - 25}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}5 = 5.1\\18 = {2.3^2}\\75 = {3.5^2}\end{array}$

$\Rightarrow BCNN\left( {5;18;75} \right) = {2.3^2}{.5^2} = 450$

Vậy ta có thể chọn một mẫu chung là $450$

$BCNN$ hay mẫu chung nguyên dương nhỏ nhất của hai mẫu đã cho là ${3^3}{.7^2}.11.19$

Đáp án A: Ta có:

$\dfrac{2}{{ - 3}} = \dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2.8}}{{3.8}} = \dfrac{{ - 16}}{{24}};$$\dfrac{{ - 7}}{8} = \dfrac{{ - 7.3}}{{8.3}} = \dfrac{{ - 21}}{{24}}$

Vì $\dfrac{{ - 16}}{{24}} > \dfrac{{ - 21}}{{24}}$ nên suy ra $\dfrac{2}{{ - 3}} > \,\,\,\dfrac{{ - 7}}{8}$ nên A đúng.

Đáp án B: Ta có:

$\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{ - 22:11}}{{33:11}} = \dfrac{{ - 2}}{3};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{200}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 200}}{{300}} = \dfrac{{ - 200:100}}{{300:100}} = \dfrac{{ - 2}}{3}$

Vì $\dfrac{{ - 2}}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}$ nên suy ra $\dfrac{{ - 22}}{{33}} = \dfrac{{200}}{{ - 300}}$ nên B đúng.

Đáp án C: Ta có:

$- \dfrac{2}{5} < 0\,;$$\dfrac{{196}}{{294}}\, > 0$$\Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < 0 < \dfrac{{196}}{{294}}$ $\Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{5} < \,\,\,\dfrac{{196}}{{294}}$  nên C đúng.

Đáp án D: Ta có:

$\dfrac{{39}}{{ - 65}} = \dfrac{{39:( - 13)}}{{( - 65):( - 13)}} = \dfrac{{ - 3}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

Vì $\dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{{ - 3}}{5}$ nên suy ra $\dfrac{{ - 3}}{5} = \,\dfrac{{39}}{{ - 65}}$ nên D sai.

Dễ thấy $\dfrac{{ - 3}}{4} < \dfrac{1}{{12}};$ $\dfrac{{ - 156}}{{149}} < \dfrac{1}{{12}}$

So sánh $\dfrac{{ - 3}}{4}$ và $\dfrac{{ - 156}}{{149}}$:

Ta có: $\dfrac{{ - 3}}{4} = \dfrac{3}{{ - 4}} = \dfrac{{3.52}}{{ - 4.52}} = \dfrac{{156}}{{ - 208}};$ $\dfrac{{ - 156}}{{149}} = \dfrac{{156}}{{ - 149}}$

Vì $- 208 <  - 149$ nên $\dfrac{{156}}{{ - 208}} > \dfrac{{156}}{{ - 149}}$ hay $\dfrac{{ - 3}}{4} > \dfrac{{ - 156}}{{149}}$

Vậy $\dfrac{1}{{12}} > \dfrac{{ - 3}}{4} > \dfrac{{ - 156}}{{149}}$

$\dfrac{{3\;.\;4 - 3\;.\;7}}{{6\;.\;5 + 9}} = \dfrac{{12 - 21}}{{30 + 9}} = \dfrac{{ - 9}}{{39}} = \dfrac{{ - 3}}{{13}}$

$\dfrac{{6\;.\;9 - 2\;.\;17}}{{63\;.\;3 - 119}} = \dfrac{{54 - 34}}{{189 - 119}} = \dfrac{{20}}{{70}} = \dfrac{2}{7}$

$MSC = 91$

$\dfrac{{ - 3}}{{13}} = \dfrac{{ - 3.7}}{{13.7}} = \dfrac{{ - 21}}{{91}};\,\,\dfrac{2}{7} = \dfrac{{2.13}}{{7.13}} = \dfrac{{26}}{{91}}$

Vậy sau khi quy đồng ta được hai phân số $\dfrac{{ - 21}}{{91}}$ và $\dfrac{{26}}{{91}}$

Ta có:

$\dfrac{{4.8}}{{64.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{{4.8}}{{2.4.8.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{1}{{2.\left( { - 7} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{14}}$

$A = \dfrac{{25\;.\;9 - 25\;.\;17}}{{ - 8\;.\;80 - 8.10}} = \dfrac{{25.(9 - 17)}}{{ - 8.(80 + 10)}}$$= \dfrac{{25.( - 8)}}{{( - 8).90}} = \dfrac{{25}}{{90}} = \dfrac{5}{{18}}$

$B = \dfrac{{48.12 - 48.15}}{{ - 3.270 - 3.30}} = \dfrac{{48.(12 - 15)}}{{( - 3).(270 + 30)}}$ $= \dfrac{{48.( - 3)}}{{( - 3).300}} = \dfrac{{48}}{{300}} = \dfrac{4}{{25}}$

Vì $A < 1$ nên loại đáp án C.

So sánh $A$ và $B:$

$MSC = 450$

$\dfrac{5}{{18}} = \dfrac{{5.25}}{{18.25}} = \dfrac{{125}}{{450}};$ $\dfrac{4}{{25}} = \dfrac{{4.18}}{{25.18}} = \dfrac{{72}}{{450}}$

Vì $125 > 72$ nên $\dfrac{{125}}{{450}} > \dfrac{{72}}{{450}}$ hay $\dfrac{5}{{18}} > \dfrac{4}{{25}}$

Vậy $A > B$

$MSC:36$

Khi đó:

$\dfrac{1}{{18}} < \dfrac{x}{{12}} < \dfrac{y}{9} < \dfrac{1}{4}$$\Rightarrow \dfrac{2}{{36}} < \dfrac{{x.3}}{{36}} < \dfrac{{y.4}}{{36}} < \dfrac{9}{{36}}$

$\Rightarrow 2 < x.3 < y.4 < 9$

Mà $\left( {x.3} \right) \vdots 3$ và $\left( {y.4} \right) \vdots 4$ nên $x.3 \in \left\{ {3;6} \right\}$ và $y.4 \in \left\{ {4;8} \right\}$

Mà $x.3 < y.4$ nên:

+ Nếu $x.3 = 3$ thì $y.4 = 4$ hoặc $y.4 = 8$

Hay nếu $x = 1$ thì $y = 1$ hoặc $y = 2$

+ Nếu $x.3 = 6$ thì $y.4 = 8$

Hay nếu $x = 2$ thì $y = 2$

Vậy các cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;2} \right)$

Gọi phân số cần tìm là $\dfrac{5}{x}$ $(x \in N^*)$

Ta có: $\dfrac{1}{6} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{1}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{5}{{30}} < \dfrac{5}{x} < \dfrac{5}{{20}}$ $\Rightarrow 30 > x > 20$ hay $x \in \left\{ {21;22;...;29} \right\}$

Số giá trị của $x$ là: $\left( {29 - 21} \right):1 + 1 = 9$

Vậy có tất cả $9$ phân số thỏa mãn bài toán.

$\dfrac{{2.9.52}}{{22.\left( { - 72} \right)}} = \dfrac{{{{2.3}^2}{{.2}^2}.13}}{{2.11.\left( { - {2^3}{{.3}^2}} \right)}}$$= \dfrac{{{2^3}{{.3}^2}.13}}{{ - {2^4}{{.3}^2}.11}} = \dfrac{{13}}{{ - 2.11}} = \dfrac{{ - 13}}{{22}}$

$\,\dfrac{{{5^{12}}{{.3}^9} - {5^{10}}{{.3}^{11}}}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{{5^{10}}{{.3}^9}.\left( {{5^2} - {3^2}} \right)}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{{5^{10}}{{.3}^9}.16}}{{{5^{10}}{{.3}^{10}}}} = \dfrac{{16}}{3}.$

Vậy mẫu số của phân số đó là $3$

Gọi phân số cần tìm là $\dfrac{a}{{13}}\left( {a \in Z} \right)$

Theo yêu cầu bài toán:

$\begin{array}{l}\dfrac{a}{{13}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\\dfrac{{a.5}}{{13.5}} = \dfrac{{a + \left( { - 20} \right)}}{{13.5}}\\a.5 = a + \left( { - 20} \right)\\a.5 - a =  - 20\\a.4 =  - 20\\a = \left( { - 20} \right):4\\a =  - 5\end{array}$

Vậy phân số cần tìm là $\dfrac{{ - 5}}{{13}}$

$\dfrac{{{5^{11}}{{.7}^{12}} + {5^{11}}{{.7}^{11}}}}{{{5^{12}}{{.7}^{12}} + {{9.5}^{11}}{{.7}^{11}}}} = \dfrac{{{5^{11}}{{.7}^{11}}(7 + 1)}}{{{5^{11}}{{.7}^{11}}(5.7 + 9)}} = \dfrac{8}{{44}} = \dfrac{2}{{11}}.$

Do đó $a = 2,b = 11$ nên $a + b = 13$

$A = \dfrac{{3535.232323}}{{353535.2323}} = \dfrac{{\left( {35.101} \right).\left( {23.10101} \right)}}{{\left( {35.10101} \right).\left( {23.101} \right)}} = 1$

$B = \dfrac{{3535}}{{3534}} = \dfrac{{3534 + 1}}{{3534}} = \dfrac{{3534}}{{3534}} + \dfrac{1}{{3534}} = 1 + \dfrac{1}{{3534}}$

$C = \dfrac{{2323}}{{2322}} = \dfrac{{2322 + 1}}{{2322}} = \dfrac{{2322}}{{2322}} + \dfrac{1}{{2322}} = 1 + \dfrac{1}{{2322}}$

Vì $\dfrac{1}{{3534}} < \dfrac{1}{{2322}}$ nên $B < C$

Mà $B > 1$ nên $B > A$

Vậy $A < B < C$

$\dfrac{{{9^{14}}{{.25}^5}{{.8}^7}}}{{{{18}^{12}}{{.625}^3}{{.24}^3}}}$$= \dfrac{{{{\left( {{3^2}} \right)}^{14}}.{{\left( {{5^2}} \right)}^5}.{{\left( {{2^3}} \right)}^7}}}{{{{\left( {{{2.3}^2}} \right)}^{12}}.{{\left( {{5^4}} \right)}^3}.{{\left( {{2^3}.3} \right)}^3}}}$$= \dfrac{{{3^{28}}{{.5}^{10}}{{.2}^{21}}}}{{{2^{12}}{{.3}^{24}}{{.5}^{12}}{{.2}^9}{{.3}^3}}}$$= \dfrac{{{2^{21}}{{.3}^{28}}{{.5}^{10}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{27}}{{.5}^{12}}}} = \dfrac{3}{{{5^2}}} = \dfrac{3}{{25}}$

Dễ thấy $A < 1$ nên:

$A = \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 1}}{{{{2018}^{2019}} + 1}} < \dfrac{{\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right) + 2017}}{{\left( {{{2018}^{2019}} + 1} \right) + 2017}}$$= \dfrac{{{{2018}^{2018}} + 2018}}{{{{2018}^{2019}} + 2018}} = \dfrac{{2018.\left( {{{2018}^{2017}} + 1} \right)}}{{2018.\left( {{{2018}^{2018}} + 1} \right)}}$$= \dfrac{{{{2018}^{2017}} + 1}}{{{{2018}^{2018}} + 1}} = B$

Vậy $A < B$

$\dfrac{{{2^5}.7 + {2^5}}}{{{2^5}{{.5}^2} - {2^5}.3}} = \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.({5^2} - 3)}}$$= \dfrac{{{2^5}.(7 + 1)}}{{{2^5}.(25 - 3)}} = \dfrac{{{2^5}.8}}{{{2^5}.22}} = \dfrac{8}{{22}} = \dfrac{4}{{11}}$

$\dfrac{{{3^4}.5 - {3^6}}}{{{3^4}.13 + {3^4}}} = \dfrac{{{3^4}.(5 - {3^2})}}{{{3^4}.(13 + 1)}}$ $= \dfrac{{{3^4}.(5 - 9)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{{3^4}.( - 4)}}{{{3^4}.14}} = \dfrac{{ - 4}}{{14}} = \dfrac{{ - 2}}{7}$

$MSC = 77$

$\dfrac{4}{{11}} = \dfrac{{4.7}}{{11.7}} = \dfrac{{28}}{{77}};$ $\dfrac{{ - 2}}{7} = \dfrac{{ - 2.11}}{{7.11}} = \dfrac{{ - 22}}{{77}}$

Do đó $\dfrac{{ - 22}}{{77}} < \dfrac{{28}}{{77}} < 1$ hay $B < A < 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{a + 6}}{{b + 14}} = \dfrac{3}{7}\\7.(a + 6) = 3.(b + 14)\\7{\rm{a}} + 42 = 3b + 42\\7{\rm{a}} = 3b\\\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{7}\end{array}$

Để quy đồng mẫu hai phân số $\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{4}{5}$, ta làm như sau:

- Tìm mẫu chung: BCNN(4, 5) = 20;

- Tìm thừa số phụ: 20 : 4 = 5 và 20 : 5 = 4;

- Ta có:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{{3.5}}{{4.5}} = \dfrac{{15}}{{20}}$ và $\dfrac{4}{5} = \dfrac{{4.4}}{{5.4}} = \dfrac{16}{{20}}$