Các dạng toán về quan hệ chia hết và tính chất

Ta có: $49 \vdots 7;\,\,\,70 \vdots 7 \Rightarrow \left( {49 + 70} \right) \vdots 7$ (theo tính chất 1)

Vì $75\, \vdots \,3;\,120\, \vdots \,3$ nên để $M = 75 + 120 + x$ chia hết cho $3$ thì $x\, \vdots \,3$ nên ta chọn $x = 12.$

Ta thấy $15 \, \vdots \, 5$ và $1003$ không chia hết cho $5$  nên để $A = 15 + 1003 + x$ chia hết cho $5$ thì $\left( {1003 + x} \right)$ chia hết cho $5.$

Mà $1003$ chia $5$ dư $3$ nên để $\left( {1003 + x} \right)$ chia hết cho $5$ thì $x$ chia $5$ dư $2.$

Ta có: $A = \left( {12 + 15} \right) + 36 + x$ . Vì $12 + 15 = 27\,\, \vdots \,\,9$ và $36\,\, \vdots \,\,9$$\Rightarrow \left( {12 + 15 + 36} \right) = \left( {27 + 36} \right)\,\, \vdots \,\,9$ nên để A không chia hết cho $9$  thì $x$  không chia hết cho $9.$

Xét $10.\left( {a + 4.b} \right) = 10.a + 40.b$$= \left( {10.a + b} \right) + 39.b$ .

Vì $\left( {10.a + b} \right)\,\, \vdots \,\,13$ và $39b\,\, \vdots \,\,13$ nên $10.\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13$ .

Do $10$ không chia hết cho $13$ nên suy ra $\left( {a + 4.b} \right)\,\, \vdots \,\,13$ .

Vậy nếu $10a + b$ chia hết cho $13$ thì $a + 4b$ chia hết cho $13.$

Vì $\left( {n + 2} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)$ nên theo tính chất 1 để $\left( {n + 7} \right) \vdots \left( {n + 2} \right)$ thì $\left[ {\left( {n + 7} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right] \vdots \left( {n + 2} \right)$ hay $5 \vdots \left( {n + 2} \right)$ .

Suy ra $\left( {n + 2} \right) \in \left\{ {1;5} \right\}$ .

Vì $n + 2 \ge 2$ nên $n + 2 = 5 \Rightarrow n = 5 - 2 = 3.$

Vậy $n = 3.$

Vậy có một số tự nhiên $n$ thỏa mãn yêu cầu.

+)  Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $n;n + 1;n + 2$ $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng  ba số tự nhiên liên tiếp là $n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3$. Vì $3 \vdots 3$ nên $\left( {3n + 3} \right) \vdots 3$ suy ra A đúng.

+) Gọi bốn  số tự nhiên liên tiếp là $n;n + 1;n + 2;n + 3$ $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng  bốn số tự nhiên liên tiếp là $n + n + 1 + n + 2 + n + 4 = 4n + 7$. Vì $4 \vdots 3;\,7\not  \vdots \,4$ nên $\left( {4n + 7} \right)\not  \vdots 4$ suy ra B đúng, D sai.

+) Gọi năm  số tự nhiên chẵn liên tiếp là $2n;2n + 2;2n + 4;2n + 6;2n + 8$ $\left( {n \in N} \right)$ thì tổng  năm số tự nhiên chẵn liên tiếp là $2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20$. Vì $10 \vdots 10;\,20 \vdots 10$ nên $\left( {10n + 20} \right) \vdots 10$ suy ra C đúng.

Ghép ba số hạng liên tiếp thành một nhóm , ta được

$C = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{11}}$$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + \left( {{3^3} + {3^4} + {3^5}} \right)... + \left( {{3^9} + {3^{10}} + {3^{11}}} \right)$

$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + {3^3}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right) + ... + {3^9}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)$$= \left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right)$

$= 13.\left( {1 + {3^3} + {3^6} + {3^9}} \right) \, \vdots \, 13$ (do $13 \, \vdots \, 13$)

Vậy $C \, \vdots \, 13.$

Vì a chia cho 12 được số dư là 9 nên $a = 12k + 9\left( {k \in N} \right)$

Vì $12k\, \vdots\, 3;9 \,\vdots \,3 \Rightarrow a = \left( {12k + 9} \right) \vdots\, 3$

Và $12k\, \vdots \,4;9$ không chia hết cho 4 nên $a = 12k + 9$ không chia hết cho 4.

Vậy a chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m = 2.m \Rightarrow 2m \vdots 2\\3\not  \vdots 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = 2m + 3\not  \vdots 2\\\left. \begin{array}{l}2n \vdots 2\\1\not  \vdots 2\end{array} \right\} \Rightarrow b = 2n + 1\not  \vdots 2\end{array}$

=> Đáp án A, B sai.

$a + b = 2m + 3 + 2n + 1 = 2m + 2n + 4 = 2.\left( {m + n + 2} \right) \vdots 2$

Đáp án C đúng.