Các dạng toán về bội chung, bội chung nhỏ nhất

+) Ta thấy $55 \, \vdots \, 5;\,110 \, \vdots \, 5$ nên $5 \in$ ƯC$\left( {55;110} \right)$. Do đó A đúng.

+) Vì $24 \, \vdots \,  3;24 \, \vdots \, 4$ nên $24 \in BC\left( {3;4} \right)$. Do đó B đúng.

+) Vì $55$ không chia hết cho (\10\) nên $10 \notin$ ƯC $\left( {55;110} \right)$. Do đó C đúng.

+) Vì $12 \, \vdots \, 3;12 \, \vdots \, 4$ nên $12 \in BC\left( {3;4} \right)$. Kí hiệu $12 \subset BC\left( {3;4} \right)$ là sai. Do đó D sai.

Gọi $C = A \cap B$

Vậy $C = \{$toán, văn$\}$

Ư$(35) = \{ 1,5,7,35\} ;$Ư$(35) > 5 \Rightarrow X = \{ 7,35\}$

$B(8) = \{ 0,8,16,24,32,40,48,56,...\}$

$B(8) < 50 \Rightarrow Y = \{ 0,8,16,24,32,40,48\}$

Vì:

$X = \{ 7,35\}$

$Y = \{ 0,8,16,24,32,40,48\}$

$\Rightarrow M = X \cap Y = \emptyset$  nên tập M không có phần tử nào.

Ta có $B\left( {12} \right) = \left\{ {0;12;24;36;48;60;72;84;96;...} \right\}$

$B\left( {15} \right) = \left\{ {0;15;30;45;60;75;90;105;...} \right\}$

$B\left( {20} \right) = \left\{ {0;20;40;60;80;100;...} \right\}$

Nên $BC\left( {12;15;20} \right) = \left\{ {0;60;120;...} \right\}$ mà $x \le 100$ và $x \ne 0$ nên $x = 60.$

Có một số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Vì $x \, \vdots \, 45;\,x \, \vdots \, 110$ và $x \, \vdots \, 75$ nên $x \, \in BC\left( {45;75;110} \right)$ mà $x$ nhỏ nhất nên  $x = BCNN\left( {45;75;110} \right)$

Ta có $45 = {3^2}.5;\,75 = {3.5^2};\,110 = 2.5.11$

Nên $BCNN\left( {45;75;110} \right) = {2.3^2}{.5^2}.11$$= 4950.$

Gọi số cần tìm là $a$ $( a \ne 0)$
Ước số lớn nhất của $a$  là $a$  
Bội số nhỏ nhất khác $0$  của $a$  là $a$  
Tích của ước số lớn nhất với bội số nhỏ nhất là: 
$a.a = 256 =  {16^2}$ $\Rightarrow a = 16.$

Vậy số cần tìm là $16.$

Gọi số học sinh đi thăm quan là $x\,\left( {x \in {N^*};\,800 \le x \le 900} \right)$ (học sinh)

Nếu xếp $35$ hay $40$ học sinh lên một ô tô thì đều thấy thiếu mất $5$ ghế ngồi nghĩa là thừa ra 5 học sinh nên ta có

$\left( {x - 5} \right) \vdots 35;\,\left( {x - 5} \right) \vdots 40$ suy ra $\left( {x - 5} \right) \in BC\left( {35;40} \right)$.

Ta có $35 = 5.7;\,40 = {2^3}.5$ nên $BCNN\left( {35;40} \right) = {2^3}.5.7 = 280.$

Suy ra $(x-5) \in BC\left( {35;40} \right) = B\left( {280} \right) = \left\{ {280;560;840;1120;...} \right\}$ mà $800 \le  x \le 900$ nên $x -5= 840$ hay $x=845.$

Vậy số học sinh đi thăm quan là $845$ học sinh.

Vì $n$ chia $8$ dư $7$ nên $\left( {n - 7} \right) \vdots 8\,\,\,\,\left( {n > 7} \right)$
$\Rightarrow n = 8a + 7$ với $a \in \mathbb{N}$$\Rightarrow \left( {n + 1} \right) \vdots 8$

Vì $n$ chia $31$  dư $28$ nên $\left( {n - 28} \right) \vdots 31\left( {n > 28} \right)$ $\Rightarrow n = 31b + 28$ $\left( {b \in \mathbb{N}} \right)$
$\Rightarrow \left( {n + 3} \right) \vdots 31$
Vì $64 \vdots 8$ nên $\left( {n + 1 + 64} \right) \vdots 8$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 8\left( 1 \right)$
Vì $62 \vdots 31$ $\Rightarrow \left( {n + 3 + 62} \right) \vdots 31$ hay $\left( {n + 65} \right) \vdots 31$  (2) 
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots$$BCNN\left( {8;31} \right)$
$\Rightarrow \left( {n + 65} \right) \vdots 248$
$\Rightarrow n = 248k - 65$ $\left( {k \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$
Với $k = 1$ $\Rightarrow n = 248.1 - 65 = 183$
Với $k = 2 \Rightarrow n = 248.2 - 65 = 431$
Với $k = 3 \Rightarrow n = 248.3 - 65 = 679$
Với $k = 4 \Rightarrow n = 248.4 - 65 = 927$
Với $k = 5 \Rightarrow n = 248.5 - 65 = 1175$ (loại) 
Vì $n$  là số lớn nhất có $3$  chữ số nên $n = 927.$

Vì ƯCLN$\left( {a;b} \right) = 18$ nên đặt $a = 18x;\,b = 18y$ với $x;y \in N;\,$$ƯCLN \left( {x;y} \right) = 1;\,y \ne 1.$

Vì  ƯCLN$\left( {a;b} \right).BCNN\left( {a;b} \right) = a.b$

Nên $18.630 = 18x.18y$ $\Rightarrow x.y = \left( {18.630} \right):\left( {18.18} \right)$ hay $x.y = 35$ mà $y \ne 1$

Do đó ta có:

+) Nếu $x = 1$ thì $y = 35$ khi đó $a = 18.1 = 18;b = 35.18 = 630$

+) Nếu $x = 5$ thì $y = 7$ khi đó $a = 18.5 = 90;b = 7.18 = 126$

+) Nếu $x = 7$ thì $y = 5$ khi đó $a = 18.7 = 126;b = 5.18 = 90$

Vậy có ba cặp số $a;b$ thỏa mãn.

Gọi ƯCLN$\left( {a,b} \right) = d$ $\Rightarrow a = d.m,b = d.n;\left( {m,n} \right) = 1$
$\Rightarrow a + b = d\left( {m + n} \right)$ $\Rightarrow d \in$ Ư$\left( {a + b} \right)$  hay $d \in$Ư$\left( {20} \right)$
Vì $BCNN\left( {a,b} \right) = 15$ $\Rightarrow 15 \vdots d$ hay $d \in$Ư$\left( {15} \right)$
$\Rightarrow d \in$  ƯC$\left( {15;20} \right)$
Mà ƯCLN$\left( {15;20} \right) = 5$ nên $d = 1$ hoặc $d = 5$
+) Nếu $d = 1 \Rightarrow a.b = 1.15 = 15 = 3.5$
Khi đó $a + b = 3 + 5 = 8$ (loại) 
Hoặc $a + b = 1 + 15 = 16$ (loại) 
+) Nếu $d = 5$ thì $a.b = 5.15 = 75 = 1.75$
Khi đó $a + b = 15 + 5 = 20$ (thỏa mãn) 
Hoặc $a + b = 1 + 75 = 76$ (loại) 
Vậy hai số cần tìm là $a = 5;b = 15.$

Vì $a$ chia cho $7$ dư $4 \Rightarrow \left( {a + 3} \right) \vdots 7$

$a$ chia cho $9$ dư $6$ $\Rightarrow \left( {a + 3} \right) \vdots 9$

Do đó $\left( {a + 3} \right) \in BC\left( {7;9} \right)$ mà $BCNN\left( {7;9} \right) = 63.$

Do đó $\left( {a + 3} \right) \vdots 63 \Rightarrow a$ chia cho $63$ dư $60.$

Ta có: 30 là bội của 10 và 15

=> BCNN(10, 15, 30) = 30.

BCNN(a,b) = 300

BC(a,b) là bội của 300.

=> Tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900

Vậy có tất cả 3 số có ba chữ số là bội của a và b.

- Gọi số bông sen chị Hòa có là: x (bông, $x \in \mathbb{N}$).

- Nếu chị bó thành các bỏ bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

- Theo đề bài ta có xe BC(3, 5, 7) và 200 < x < 300

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(3, 5, 7) = 105

=> BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105, 210, 315;...}

=> x$\in$ BC(3, 5, 7) ={0, 105, 210, 315,.... }.

Mà $200 \le x \le 300$ nên x = 210.

Vậy số bông sen chị Hòa có là 210 bông.

Thời gian các xe cùng xuất bến cách 10h35p các khoảng thời gian là BC(9, 10, 15)

Ta có: 9 = ${3^2}$,   10 = 2.5,    15 = 3.5.

Thừa số chung và riêng là 2, 3 và 5

Số mũ lớn nhất của 2 là 1

Số mũ lớn nhất của 3 là 2

Số mũ lớn nhất của 5 là 1

=> BCNN(9, 10, 15) = ${2.3^2}.5$ = 90

Vậy cứ 90 phút thì các xe xuất bến cùng một lúc.

Ta có BCNN(8; 24) = 24 nên:

$\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{{3.3}}{{8.3}} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{9}{{24}} + \dfrac{5}{{24}} = \dfrac{{14}}{{24}} = \dfrac{7}{{12}}$