Các dạng toán về tính chất cơ bản của phân số

Ta có:  $\dfrac{{30}}{{24}} = \dfrac{{30:6}}{{24:6}} = \dfrac{5}{4}$

Vậy đáp án đúng điền vào chỗ chấm lần lượt từ trái sang phải, từ trên xuống dưới là $6\,\;,\,5\,;\,\,4$.

Ta có:

$\dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{6:3}}{{15:3}} = \dfrac{2}{5}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\ \quad \dfrac{{20}}{{12}} = \dfrac{{20:4}}{{12:4}} = \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{{15}}{{25}} = \dfrac{{15:5}}{{25:5}} = \dfrac{3}{5}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\, \, \quad \dfrac{{18}}{{36}} = \dfrac{{18:18}}{{36:18}} = \dfrac{1}{2}$
Vậy trong các phân số đã cho, phân số bằng với phân số $\dfrac{3}{5}$ là $\dfrac{{15}}{{25}}$.

Ta có:

 $\begin{array}{l}\dfrac{8}{{14}} = \dfrac{{8:2}}{{14:2}} = \dfrac{4}{7}\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{16}}{{18}} = \dfrac{{16:2}}{{18:2}} = \dfrac{8}{9}\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{20}}{{35}} = \dfrac{{20:5}}{{35:5}} = \dfrac{4}{7};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\dfrac{{36}}{{63}} = \dfrac{{36:9}}{{63:9}} = \dfrac{4}{7}\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{100}}{{185}} = \dfrac{{100:5}}{{185:5}} = \dfrac{{20}}{{37}} \cdot \,\,\,\,\,\end{array}$

Vậy các phân số bằng phân số $\dfrac{4}{7}$ là    $\dfrac{8}{{14}};\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{20}}{{35}};\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{36}}{{63}} \cdot$.

Ta có: $\dfrac{{2323}}{{3232}} = \dfrac{{2323:101}}{{3232:101}}$$= \dfrac{{23}}{{32}} = \dfrac{x}{{32}} \Rightarrow x = 23$

Ta có:

$+ )\dfrac{{301}}{{403}} = \dfrac{{301.2}}{{403.2}} = \dfrac{{602}}{{806}}\left( {TM} \right)$

$+ )\dfrac{{301}}{{403}} = \dfrac{{301.3}}{{403.3}} = \dfrac{{903}}{{1209}}\left( L \right)$

Do đó ở các trường hợp nhân cả tử và mẫu với một số tự nhiên lớn hơn $3$ ta cũng đều loại được.

Ngoài ra phân số $\dfrac{{301}}{{403}}$ tối giản nên không thể rút gọn được.

Vậy phân số cần tìm là $\dfrac{{602}}{{806}}$

Ta có:

$\dfrac{{ - 5}}{{ - 14}} = \dfrac{{\left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)}}{{\left( { - 14} \right).\left( { - 4} \right)}} = \dfrac{{20}}{{56}} = \dfrac{{20}}{{6 - 5x}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 56 = 6 - 5x\\56 - 6 =  - 5x\\50 =  - 5x\\x = 50:\left( { - 5} \right)\\x =  - 10\end{array}$

+ Nhân cả tử và mẫu của $A$ với $2.4.6.....40$ ta được:

$A = \dfrac{{\left( {1.3.....39} \right).\left( {2.4.....40} \right)}}{{\left( {2.4.6.....40} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}$$= \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.20} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}$

$= \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{{2^{20}}.\left( {1.2.3.....20.21.22.....40} \right)}}$$= \dfrac{1}{{{2^{20}}}}$

+ Nhân cả tử và mẫu của $B$ với $2.4.6.....2n$ ta được:

$B = \dfrac{{\left( {1.3.....\left( {2n - 1} \right)} \right).\left( {2.4.....2n} \right)}}{{\left( {2.4.6.....2n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$$= \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$

$= \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{{2^n}.\left( {1.2.3.....n.\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}$$= \dfrac{1}{{{2^n}}}$

Vậy $A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}},B = \dfrac{1}{{{2^n}}}$

Ta có: $\dfrac{{200}}{{520}} = \dfrac{5}{{13}}$ nên có dạng tổng quát là $\dfrac{{5k}}{{13k}}\left( {k \in Z,k \ne 0} \right)$

Do tổng và tử và mẫu của phân số cần tìm bằng $306$ nên:

$\begin{array}{l}5k + 13k = 306\\18k = 306\\k = 306:18\\k = 17\end{array}$

Vậy phân số cần tìm là $\dfrac{{5.17}}{{13.17}} = \dfrac{{85}}{{221}}$

Các phân số đã cho đều có dạng  $\dfrac{a}{{a + (n + 2)}}$

Và tối giản nếu $a$ và $n + 2$ nguyên tố cùng nhau

Vì: $\left[ {a + (n + 2)} \right] - a = n + 2$ với

$a = 6;7;8;.....;34;35$

Do đó $n + 2$ nguyên tố cùng nhau với các số $6;7;8;.....;34;35$

Số tự nhiên $n + 2$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này là $37$

Ta có $n + 2 = 37$ nên $n = 37 - 2 = 35$

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là $35$