Bài tập cuối chương I

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn 5 là tập hợp $\left\{ {1;2;3;4} \right\}$

Số la mã XVII có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là $17$.

${7^4}{.7^3} = {7^{4 + 3}} = {7^7}$.

Với $x \ne 0$ thì ${x^8}:{x^2} = {x^{8 - 2}} = {x^6}$

Ta có:

$\begin{array}{l}10000 = {10^4}\\{1020^0} = 1\\x.{x^7} = {x^{1 + 7}} = {x^8}\\{12^7}:{12^4} = {12^{7 - 4}} = {12^3}\end{array}$

Do đó chỉ có đáp án D đúng.

Số phần tử của tập hợp chính là số số hạng của dãy 3,6,9,…,150 và bằng:$\left( {150 - 3} \right):3 + 1 = 50$

Theo đề bài thì ta tìm trong khoảng từ 5 đến 50 các số chia hết cho 15 là: 15,30,45.

Do đó $A = \left\{ {15,30,45} \right\}$ .

Trong cách viết $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|2 < x \le 8} \right\}$, ta chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử x của tập hợp A đó là $x > 2$ và $x \le 8$ . Do đó 2 không là phần tử của tập A nên C sai.

Tập A còn có cách viết: $A = \left\{ {3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\} \Rightarrow A$ có 6 phần tử nên đáp án B đúng. Dễ thấy A, D đều đúng.

Gọi B là tập hợp các số tự nhiên chẵn lớn hơn 1010 nhưng không vượt quá 2012.
$B = \left\{ {1012;1014;1016;...;2008;2012} \right\}\;$
Xét dãy số $1012;{\rm{ }}1014;{\rm{ }}1016;{\rm{ }}...;{\rm{ }}2008;{\rm{ }}2012$
Ta thấy dãy trên là dãy số cách đều 2 đơn vị 
Số số hạng của dãy số trên là: $\left( {2012 - 1012} \right):2 + 1 = 501$ số hạng
Số phần tử của tập hợp B cũng chính là số số hạng của dãy số trên 
Nên tập hợp các số tự nhiên chẵn lớn hơn $1010$ nhưng không vượt quá $2012$ có $501$ phần tử.

$X = \left\{ {2;4} \right\};Y = \left\{ {1;3;7} \right\}\;$
Lấy mỗi phần tử thuộc tập hợp $X$ nhân lần lượt với từng phần tử thuộc tập hợp $Y$ ta được: 
$2.1 = 2;2.3 = 6;2.7 = 14;4.1 = 4;4.3 = 12;4.7 = 28$
Vậy $M = \left\{ {2;6;14;4;12;28} \right\}\;$

Ta có ${9^3}{.27^2}.81\; = {\left( {3.3} \right)^3}.{\left( {3.3.3} \right)^2}.\left( {3.3.3.3} \right) = {\left( {{3^2}} \right)^3}.{\left( {{3^3}} \right)^2}{.3^4}$$= {3^{2.3}}{.3^{3.2}}{.3^4} = {3^6}{.3^6}{.3^4} = {3^{6 + 6 + 4}} = {3^{16}}.$

$\begin{array}{l}5(x + 15) = {5^3}\\5(x + 15) = 125\\\,\,\,\,x + 15\,\,\,\,= 125:5\\\,\,\,\,x + 15\,\,\,\, = 25\\\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 25 - 15\\\,\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= 10.\end{array}$

$\begin{array}{l}65 - {4^{x + 2}} = 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{4^{x + 2}}\,\, = 65 - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{4^{x + 2}}\,\,\, = 64\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{4^{x + 2}}\,\,\, = {4^3}\\\,\,\,\,\,\,\;\;\,x + 2\,= 3\\\,\,\,\,\,\,\,\;\;x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= 3 - 2\\\,\,\,\;\;\,\,\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l}A = \left( {6888:56-{{11}^2}} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = \left( {6888:56 - 121} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = \left( {123 - 121} \right).152 + 13.72 + 13.28\\\,\,\,\,\,\, = 2.152 + 13.\left( {72 + 28} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.152 + 13.100\\\,\,\,\,\,\, = 304 + 1300\\\,\,\,\,\,\, = 1604\end{array}$                    $\begin{array}{l}B = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29}}:{{17}^{27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29 - 27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {{{17}^2}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left[ {5082:\left( {289 - 256} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left( {5082:33 + 13.12} \right):31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = \left( {154 + 156} \right):31 + {9^2}\\\,\,\,\,\, = 310:31 + 81\\\,\,\,\,\, = 10 + 81 = 91.\end{array}$

Suy ra $A - 2B = 1422.$

Ta có:

$\begin{array}{l}{202^{303}} = {202^{3.101}} = {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}\\{303^{202}} = {303^{2.101}} = {\left( {{{303}^2}} \right)^{101}}\end{array}$

Ta so sánh ${202^3}$ và ${303^2}$

$\begin{array}{l}{202^3} = {\left( {2.101} \right)^3} = {2^3}{.101^3} = {2^3}{.101^{1 + 2}} = {2^3}{.101.101^2} = {8.101.101^2} = {808.101^2}\\{303^2} = {\left( {3.101} \right)^2} = {3^2}{.101^2} = {9.101^2}\end{array}$

Vì $9 < 808$ nên ${9.101^2} < {808.101^2}$ hay ${303^2} < {202^3}$

Do đó ${\left( {{{303}^2}} \right)^{101}} < {\left( {{{202}^3}} \right)^{101}}$

Vậy ${303^{202}} < {202^{303}}$ .

Gọi số đĩa cần chẩn bị là x cái $\left( {x \in {N^*}} \right)$  
Vì số bánh, kẹo và quýt được chia đều vào các đĩa nên: $840\;\, \vdots x{\rm{ }};{\rm{ }}2352\,\; \vdots \;x{\rm{ }};{\rm{ }}560\;\, \vdots \;x$  
Và $x$ là lớn nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {840;2352;560} \right)$
Ta có: $840 = {2^3}.3.5.7;560 = {2^4}.5.7;2352 = {2^4}{.3.7^2}$

Suy ra  ƯCLN$\left( {840;{\rm{ }}2352;{\rm{ }}560} \right){\rm{ }} = \;{2^3}.7\; = 56$
Vậy số đĩa nhiều nhất cần chuẩn bị là $56$ .

$\begin{array}{l}{5^x} + {5^{x + 2}} = 650\\{5^x} + {5^x}{.5^2} = 650\\{5^x} + {5^x}.25 = 650\\{5^x}.\left( {1 + 25} \right) = 650\\{5^x}.26 = 650\\{5^x} = 650:26\\{5^x} = 25\\{5^x} = {5^2}\\x = 2\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}28.231 + 69.28 + 72.231 + 69.72\\ = \left( {28.231 + 69.28} \right) + \left( {72.231 + 69.72} \right)\\ = 28.\left( {231 + 69} \right) + 72.\left( {231 + 69} \right)\\ = 28.300 + 72.300\\ = 300.\left( {28 + 72} \right)\\ = 300.100\\ = 30000\end{array}$

Nhận thấy số 30000 gần với số 30005  nhất trong các đáp án  nên chọn A.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\;\left( {2x-130} \right):4 + 213 = {5^2} + 193\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4 + 213 = 25 + 193\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4 + 213 = 218\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4= 218 - 213\\\,\,\,\,\,\,\left( {2x-130} \right):4= 5\\\,\,\,\,\,\,\,2x-130= 5.4\\\,\,\,\,\,\,\,2x-130= 20\\\,\,\,\,\,\,\,2x= 20 + 130\\\,\,\,\,\,\,2x= 150\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,x= 150:2\\\,\,\,\,\,\,\,\,x= 75\end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} + )\,{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^{16}}:{3^{14}} + {2^8}:{2^6}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^{16 - 14}} + {2^{8 - 6}}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {{3^2} + {2^2}} \right)\\{x^3} - {2^3} = {2^5} - \left( {9 + 4} \right)\\{x^3} - 8 = 32 - 13\\{x^3} - 8 = 19\\{x^3} = 19 + 8\\{x^3} = 27\\{x^3} = {3^3}\\x = 3\end{array}$                    

Suy ra ${x_1} = 3.$              

$\begin{array}{l}{\rm{ + )}}\,2448:\left[ {158 - 7.{{\left( {x - 6} \right)}^3}} \right] = 24\\158 - 7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 2448:24\\158 - 7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 102\\7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 158 - 102\\7.{\left( {x - 6} \right)^3} = 56\\{\left( {x - 6} \right)^3} = 56:7\\{\left( {x - 6} \right)^3} = 8 = {2^3}\\x - 6 = 2\\x = 2 + 6\\x = 8\end{array}$

Suy ra ${x_2} = 8$

Từ đó ta có ${x_1} = 3;{x_2} = 8 \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 24.$