Tìm một số có hai chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số $0$ vào giữa hai chữ số của số đó thì được số mới gấp $7$ lần số đã cho.
Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(\overline {ab} \left( {0 < a \le 9;0 \le b \le 9};\, a,b \in N \right)\).
Khi viết thêm chữ số $0$ vào giữa hai chữ số ta được số mới là \(\overline {a0b} \) .
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {a0b} = 7.\overline {ab} \\100.a + b = 7.\left( {10.a + b} \right)\\100.a + b = 70.a + 7.b\\100.a - 70.a = 7.b - b\\30.a = 6.b\\5.a = b\end{array}\)
Vì $a,b$ là các chữ số và \(a \ne 0\) nên \(a = 1;b = 5\) .
Vậy số cần tìm là $15$.
Biết 4 số tự nhiên liên tiếp mà tổng bằng 2010. Số nhỏ nhất trong 4 số đó là
Gọi \(n \in \mathbb{N}\) ta có các số: n; n+1; n+2; n+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp.
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}n + \left( {n + 1} \right) + \left( {n + 2} \right) + \left( {n + 3} \right) = 2010\\4.n + 6 = 2010\\4n= 2010 - 6\\4n= 2004\\n = 2004:4\\n = 501.\end{array}\)
Vậy 4 số tự nhiên đó là 501; 502; 503; 504.
Số nhỏ nhất là 501.
Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang (bắt đầu từ trang $1$) của một cuốn sách có $1031$ trang?
Ta chia các số trang của cuốn sách thành 4 nhóm:
+ Nhóm các số có $1$ chữ số (từ trang $1$ đến trang $9$): số chữ số cần dùng là $9$.
+ Nhóm các số có hai chữ số (từ trang $10$ đến trang $99$): số trang sách là: \(\left( {99 - 10} \right):1 + 1 = 90\), số chữ số cần dùng là: \(90.2 = 180\) .
+ Nhóm các số có $3$ chữ số (từ trang $100$ đến trang $999$): số trang sách là: \(\left( {999 - 100} \right):1 + 1 = 900\), số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm này là: \(900.3 = 2700\).
+Nhóm các số có $4$ chữ số (từ trang $1000$ đến trang $1031$): số trang sách là: \(\left( {1031 - 1000} \right):1 + 1 = 32\) ; số chữ số cần dùng là \(32.4 = 128\) .
Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang cuốn sách đó là: \(9 + 180 + 2700 + 128 = 3017\)
Cho \(P = 1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}\). Chọn đáp án đúng.
\(\begin{array}{l}P = 1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}\\{5^3}.P = {5^3}.\left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right) = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\125.P = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\ \Rightarrow 125.P - P = \left( {{5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}} \right) - \left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right)\\ \Rightarrow 124.P = {5^{102}} - 1\end{array}\)
