Các dạng toán về số nguyên tố

Đáp án A: Vì $37$  chỉ chia hết cho $1$ và $37$ nên $37$ là số nguyên tố, do đó chọn A.

Đáp án B: $34$  không phải là số nguyên tố ($34$  chia hết cho $\left\{ {2;{\rm{ }}4;{\rm{ }} \ldots } \right\}$). Do đó loại B.

Đáp án C: $36$  không phải là số nguyên tố ($36$ chia hết cho $\left\{ {1;\,\,2;{\rm{ 3;}}\,...;\,{\rm{36}}} \right\}$). Do đó loại C.

Đáp án D: $39$  không phải là số nguyên tố ($39$ chia hết cho $\left\{ {1;\,\,3;...\,;\,39} \right\}).$ Do đó loại D.

Suy ra $140 = {2^2}.5.7 = {a^2}.b.7$ nên $a = 2$.

Ta có ${\rm{150 = 2}}{\rm{.3}}{\rm{.}}{{\rm{5}}^2}$, vậy $x = 1;y = 1;z = 2$

Vậy số lượng ước của số $150$  là $\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right) = 2.2.3 = 12$

+ Số $21$ có các ước $1;3;7;21$ nên $21$ là hợp số

+ Số $77$ có các ước $1;7;11;77$ nên $77$ là hợp số

+ Số $71$ chỉ có hai ước là $1;71$ nên $71$ là số nguyên tố.

+ Số $101$ chỉ có hai ước là $1;101$ nên $101$ là số nguyên tố.

Như vậy có hai số nguyên tố là $71;101$ và hai hợp số là $21;77.$

+) Phân tích số $2150$ thành thừa số nguyên tố

Suy ra $2150 = {2.5^2}.43$

+) Phân tích số $1490$ thành thừa số nguyên tố

Suy ra $1490 = 2.5.149$

+) Phân tích số $2340$ thành thừa số nguyên tố

Suy ra $2340 = {2^2}{.3^2}.5.13$

Vậy có số $2340$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+) Ta có $A = 90.17 + 34.40 + 12.51$

Nhận thấy $17 \, \vdots \, 17;\,34 \, \vdots \,  17;51 \, \vdots \, 17$ nên $A = 90.17 + 34.40 + 12.51$ chia hết cho $17$ nên ngoài ước là $1$ và chính nó thì $A$ còn có ước là $17$. Do đó $A$ là hợp số.

+) Ta có $B = 5.7.9 + 2.5.6 = 5.\left( {7.9 + 2.6} \right) \, \vdots \, 5$ nên $B = 5.7.9 + 2.5.6$ ngoài ước là $1$ và chính nó thì $A$ còn có ước là $5$. Do đó $B$ là hợp số.

Vậy cả $A$ và $B$ đều là hợp số.

Gọi hai số tự nhiên cần tìm là $a$ và $b\left( {a;b \in N} \right)$

Ta có $a.b = 105$

Phân tích số $105$ ra thừa số nguyên tố ta được $105 = 3.5.7$

Các số $a;b$ là ước của $105$ , do đó ta có

Vậy có $8$ cặp số thỏa mãn yêu cầu.

Tổng $3$ số nguyên tố là $578$ là số chẵn, nên trong $3$ số nguyên tố có ít nhất $1$ số là số chẵn. Ta đã biết số $2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong $3$ số nguyên tố có tổng là $578$ là số $2.$

Ta có

Nên $360 = {2^3}{.3^2}.5$

Vậy có  thừa số nguyên tố sau khi phân tích là $2; 3$ và $5.$

Các số $x$ thỏa mãn $50 < x < 60$ là $51;52;53;54;55;56;57;58;59$

Trong đó các số nguyên tố là $53;59.$

Vậy có hai số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

Ta có ${n^2} + 12n = n\left( {n + 12} \right);\,n + 12 > 1$ nên để ${n^2} + 12n$ là số nguyên tố thì $n = 1.$

Thử lại ${n^2} + 12n = {1^2} + 12.1 = 13$ (nguyên tố)

Vậy với $n = 1$ thì ${n^2} + 12n$ là số nguyên tố.

Đặt $p = 3a + r\,\,\left( {r = 0;1;2;\,a \in N} \right)$

Với $r = 1$ ta có $p + 8 = 3a + r + 8 = \left( {3a + 9} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 9} \right) > 3$ nên $p + 8$ là hợp số. Do đó loại $r = 1.$

Với $r = 2$ ta có $p + 4 = 3a + r + 4 = \left( {3a + 6} \right) \vdots 3,\,\left( {3a + 6} \right) > 3$ nên $p + 4$ là hợp số. Do đó loại $r = 2.$

Do đó $r = 0;p = 3a$ là số nguyên tố nên $a = 1 \Rightarrow p = 3.$

Ta có $p + 4 = 7;p + 8 = 11$ là các số nguyên tố.

Vậy $p = 3.$

Có một số nguyên tố $p$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $p = 42.a + r = 2.3.7.a + r\,\left( {a,r \in N;0 < r < 42} \right)$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $r$ không chia hết cho $2;3;7.$

Các hợp số nhỏ hơn $42$ không chia hết cho $2$ là $9;15;21;25;27;33;35;39$

Loại bỏ các số chia hết cho $3$ và $7$ ta còn số $25.$

Vậy $r = 25.$

Nếu xếp 7 hình vuông đơn vị thành hình chữ nhật thì chiều rộng của hình chữ nhật chỉ có thể xếp:

Các số nguyên tố nhỏ hơn 30 là:  2;3;5;7;9;11;13;17;19;23;29.

Số cần tìm là 23.

91 có tổng các chữ số bằng 10 không chia hết cho 3 nên 3 không là ước nguyên tố của 91

91 có chữ số tận cùng là 1 nên 91 không chia hết cho 2, do đó 2 không là ước nguyên tố.

Một ước số nguyên tố của 91 là: 7.

Ta có

Nên $192= 2^6 . 3$ nên số ước của $192$ là $(6+1)(1+1)=14$ ước.

Phân tích số $1936$ ra thừa số nguyên tố ta được

Hay $1936 = {2^4}{.11^2} = \left( {{2^2}.11} \right).\left( {{2^2}.11} \right) = 44.44$

Vậy cạnh hình vuông bằng $44\,m.$

Vì $\overline {ab} .\,c\, = 424$ nên $\overline {ab}$ là ước có hai chữ số của $424.$

Phân tích số $424$ ra thừa số nguyên tố ta được

Hay $424 = {2^3}.53$

Các ước của $424$ là $1;2;4;8;53;106;212;424$

Suy ra $\overline {ab}  = 53$ suy ra $c = 424:53 = 8.$