Phương trình mặt cầu

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1}  = 2$.

Vậy diện tích của mặt cầu $\left( S \right)$ là:  $4\pi {.2^2} = 16\pi$.

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} = 165\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {{\left( {z - 3} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 7} \right)}^2} + {{\left( {z + 9} \right)}^2}} \right] = 165\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 12x + 6y + 6z + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z + 3 = 0\end{array}$

Do đó tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm $I\left( {2; - 1; - 1} \right)$ $\Rightarrow a = 2,\,\,b =  - 1,\,\,c =  - 1$ , bán kính $R = \sqrt {4 + 1 + 1 - 3}  = \sqrt 3$.

Vậy $T = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {R^2} = 4 + 1 + 1 + 3 = 9$.

Mặt cầu ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9$ có tâm $I\left( {2; - 1; - 2} \right)$.

Hình chiếu của $I\left( {2; - 1; - 2} \right)$ lên trục $Oz$ là $I'\left( {0;0; - 2} \right)$.

Thay tọa độ điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ vào phương trình mặt cầu ta có:

${0^2} + {0^2} + {0^2} - 2.0 - 4.0 - 6.0 = 0 \Rightarrow O \in \left( S \right)$.

Thay tọa độ điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình mặt cầu ta có:

${1^2} + {2^2} + {3^2} - 2.1 - 4.2 - 6.3 =  - 14 \ne 0 \Rightarrow A \notin \left( S \right)$.

Thay tọa độ điểm $B\left( {2; - 1; - 1} \right)$ vào phương trình mặt cầu ta có:

${2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.2 - 4.\left( { - 1} \right) - 6.\left( { - 1} \right) = 12 \ne 0 \Rightarrow B \notin \left( S \right)$.

Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$.