Nguyên hàm

Ta có: $F'\left( x \right) = 3{x^2} + 2x-1 \Rightarrow F\left( x \right) = \int {F'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} + 2x-1} \right)dx}  = {x^3} + {x^2} - x + C$

Tại $x = 0$ thì $y=2$ suy ra $2 = C \Rightarrow F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x + 2$ và tổng các hệ số của $F\left( x \right)$ là $3$.

Theo bài ra ta có: $f'\left( x \right) = {x^3}{f^2}\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^3}\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: $\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx}  = \int {{x^3}dx}$ $\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C$.

Lại có: $f\left( 2 \right) =  - \dfrac{4}{{19}}$$\Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( 2 \right)}} = 4 + C \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{4} = 4 + C$ $\Leftrightarrow C = \dfrac{3}{4}$.

Do đó $- \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{3}{4}$.

Thay $x = 1$ ta có $- \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$. Vậy $f\left( 1 \right) =  - 1$.

$\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{2x + 3}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

Do đó, ta cần biến đổi $\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}}$ để tính được nguyên hàm.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{a}{{2x + 1}} + \dfrac{b}{{x - 1}} = \dfrac{{a\left( {x - 1} \right) + b\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{ax - a + 2bx + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}} = \dfrac{{\left( {a + 2b} \right)x - a + b}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2b = 2\\ - a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{4}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}$

 Do đó:

$\int {\dfrac{{2x + 3}}{{2{x^2} - x - 1}}dx} {\rm{\;}}$$= \int {\left[ { - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}} + \dfrac{5}{3}.\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right]dx} {\rm{\;}}$$= {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {2x + 1} \right)}}dx} {\rm{\;}} + \dfrac{5}{3}\int {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)}}dx}$$= {\rm{\;}} - \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C$$= {\rm{\;}} - \dfrac{2}{3}\ln \left| {2x + 1} \right| + \dfrac{5}{3}\ln \left| {x - 1} \right| + C$

Đáp án B: $\dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}=\dfrac{{{x^2} -( x + 1)}}{{x + 1}}$$=\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}-1$

Đáp án C: $\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}=\dfrac{{{x^2} +( x + 1)}}{{x + 1}}$$=\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}+1$

Đáp án D: $\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}$

Như thế, các hàm số ở ý B, C, D hơn kém nhau một số đơn vị do nên chúng là nguyên hàm của cùng một hàm số.

Ta có: $N(t)=\int {N'(t)dt} = \int {\dfrac{{4000}}{{0,5t + 1}}dt}$$= \dfrac{{4000}}{{0,5}}\ln \left| {0,5t + 1} \right| + C = 8000\ln \left| {0,5t + 1} \right| + C$.

Với $t = 0$ thì $250000 = 8000\ln 1 + C$$\Leftrightarrow C = 250000$.

Vậy $N\left( t \right) = 8000\ln \left| {0,5t + 1} \right| + 250000$$\Rightarrow N\left( {10} \right) \approx 264334$ 

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{{x.f\left( x \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$$\Leftrightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\rm{d}}x}$

$\Leftrightarrow \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f\left( x \right)}}}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}  = \sqrt {{x^2} + 1}  + C$$\Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 1}  + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{\sqrt {{x^2}{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1} {\kern 1pt}  + {\kern 1pt} {\kern 1pt} C}}$

Mà $f\left( 0 \right) = e$$\Rightarrow$${e^{C{\kern 1pt}  + {\kern 1pt} 1}} = e \Rightarrow C = 0.$

Vậy $f\left( {\sqrt 3 } \right) = {e^2}.$

Ta có: $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}$

$\Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\left( {2x + 1} \right)dx}$

Tính $\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}$ ta đặt $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt$ $\Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt$

Thay vào ta được $\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\dfrac{{tdt}}{t}}  = \int {dt}  = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C$

Do đó $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C = {x^2} + x$.

$f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 3$.

Từ đó:

$\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}$

$\int {\left( {{x^2} + 4} \right)dx}  = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 4x + C$.

Ta có $\int {\left( {{e^x} + 2} \right)dx}  = {e^x} + 2x + C$.

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}} = x + \dfrac{1}{{x - 2}}$.

$\Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)dx}$$=\int xdx + \int { \dfrac{1}{{x - 2}}dx  }$$= \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x - 2} \right| + C$.

Trong 2 giây đầu, ${v_1} = a{t^2}$, lại có khi $t = 2\,\,\left( s \right) \Rightarrow {v_1} = 60\,\,\left( {m/s} \right)$ nên $60 = a{.2^2} \Leftrightarrow a = 15$, suy ra ${v_1} = 15{t^2}$.

Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu là ${s_1} = \int\limits_0^2 {{v_1}\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^2 {15{t^2}dt}  = 40\,\,\left( m \right)$.

Trong giây tiếp theo, ${v_2} = mt + n$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}t = 2 \Rightarrow v = 60\\t = 3 \Rightarrow v = 360km/h = 100m/s\end{array} \right.$, nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2m + n = 60\\3m + n = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 40\\n =  - 20\end{array} \right.$ $\Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 40t - 20$.

Quãng đường vật đi được trong giây tiếp theo là ${s_2} = \int\limits_2^3 {{v_2}\left( t \right)dt}  = \int\limits_2^3 {\left( {40t - 20} \right)dt}  = 80\,\,\left( m \right)$.

Trong 2 giây cuối, ${v_3} = 100\,\,\left( {m/s} \right)$.

Quãng đường vật đi được trong 2 giây cuối là ${s_3} = \int\limits_3^5 {{v_3}\left( t \right)dt}  = \int\limits_3^5 {100dt}  = 200\,\,\left( m \right)$.

Vậy trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là: $40 + 80 + 200 = 320\,\,\left( m \right)$.