Hàm số logarit

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Điều kiện xác định: $x>0$

Đạo hàm hàm số $y = {\log _a}x$ là $y' = \dfrac{1}{{x\ln a}}$

Giới hạn cần nhớ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$

Hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < a < 1$ và đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $a > 1$.

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 0$ (trục $Oy$)

Điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nếu ${y_0} = {\log _a}{x_0}$.

- Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {a;1} \right)$.

- Với $x = {a^2}$ thì $y = {\log _a}x = {\log _a}{a^2} = 2$ nên đồ thị hàm số đi qua $\left( {{a^2};2} \right)$ nên C sai, D đúng.

- Hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$ có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

- Vì $0 < \dfrac{\pi }{4} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên TXĐ

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$

- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục hoành (vì $x > 0$)

- Đồ thị hàm số $y = \log x$ nhận trục tung là tiệm cận đứng.

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ nên các đáp án B,C,D đều sai

$\log a + \log b = \log \left( {ab} \right)$ nên ý A sai

Nhận thấy ${a^{x + y}} = {a^x}.{a^y}$ nên mệnh đề ở ý B sai.

Vì $12 > 1$ nên $y = {\log _{12}}x$ là hàm đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$  nên D sai

Ta có: $0 < a < 1$ nên hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến, do đó $b > 1$ nên ${\log _a}b < {\log _a}1 = 0$.

Vì $b > 1$ nên hàm số $y = {\log _b}x$ đồng biến, do đó $a < 1$ nên ${\log _b}a < {\log _b}1 = 0$.

Vậy ${\log _a}b < 0;{\log _b}a < 0 \Rightarrow {\log _a}b + {\log _b}a < 0$.

Cho $a > 0;a \ne 1$ khi đó hàm số $y = {a^x}$ có tập xác định là $R$ , tập giá trị là $\left( {0; + \infty } \right)$

Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$ , tập giá trị là $R$

Suy ra B đúng

Điều kiện : $\dfrac{{ - 3}}{{2 - 2x}} > 0 \Leftrightarrow 2 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > 1.$

Ta có: $\left[ {{{\log }_{2018}}\left( {2018x + 1} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {2018x + 1} \right)'}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}} = \dfrac{{2018}}{{\left( {2018x + 1} \right)\ln 2018}}$

Ta có: $y' = \left[ {\ln \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)'}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{1 + \sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} \left( {1 + \sqrt {x + 1} } \right)}}$

 Ta có:

$\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}$ và ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}$$\Rightarrow 0 < a < 1$

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}$ và ${\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}$$\Rightarrow b > 1$

Đồ thị hàm số đã cho có $y \to -\infty$ khi $x \to {0^ + }$ nên nó là đồ thị hàm số $y = lo{g_a}x$ với $a > 1$

Quan sát hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Quan sát hình vẽ ta thấy:

- Hàm số $y = {\log _a}x$ là hàm đồng biến nên ta có $a > 1$ .

- Hai hàm số $y = {\log _b}x,y = {\log _c}x$ nghịch biến nên có $0 < b,c < 1$

Từ nhận xét này ta thấy $a$  là số lớn nhất.

Giải điều kiện: ${x^2} - 2mx + 4 > 0,\forall x \in R$

$\Delta ' = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow (m - 2)(m + 2) < 0$. Suy ra $- 2 < m < 2$