Góc giữa hai mặt phẳng

\(ABCD\) là  hình vuông\( \Rightarrow CD \bot AD\) (1)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CD \bot SA\)     (2)

Từ ( 1) và (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

\(ABCD\) là  hình vuông\( \Rightarrow BD \bot AC\) (3)

Ta lại có: \(BD \bot SA\) (Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\), mà \(BD \subset \left( {SBD} \right)\)  nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

Bước 1:

Kẻ \(MN\parallel AB\left( {N \in SA} \right)\)

Mà \(AB\parallel CD\)

\( \Rightarrow MN\parallel CD\) \( \Rightarrow N \in \left( {MCD} \right)\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD \subset \left( {SAD} \right)\\CD \bot ND \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\end{array}\)

Mặt khác,

\(CD = \left( {MCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAD} \right)\) vuông góc với \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

Bước 3:

\(\begin{array}{l}N \in \left( {MCD} \right) \Rightarrow ND \subset \left( {MCD} \right)\\N \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow ND \subset \left( {SAD} \right)\\ \Rightarrow ND = \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAD} \right)\end{array}\)

 \(AD = \left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {MCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)}\)\( = \widehat {\left( {AD,ND} \right)} = \widehat {NDA} = \alpha \)

Bước 4:

Xét tam giác NDA vuông tại N có: \(AN = \dfrac{{SA}}{2} = a\), \(AD = a\).

(do  \(SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\); N là trung điểm SA).

Nên \(\Delta NAD\) vuông cân tại A \( \Rightarrow \alpha  = 45^\circ \).

Vậy góc giữa \(\left( {MCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \)

Bước 1: Xác định góc

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC\) vuông góc \(BD\) tại \(O\).

Suy ra \(BD \bot \left( {A'OC'} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right),\,\,\left( {C'BD} \right)\) là \(\angle A'OC'\)

Bước 2: Sử dụng tính chất tam giác vuông cân để tính góc.

Gọi \(H\)là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\) thì \(H\) là trung điểm \(A'C'\) và

\(\begin{array}{l}OH = A'A = a\\A'H = HC' = \dfrac{{A'C'}}{2} = \dfrac{{A'B'\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\end{array}\)

Suy ra các tam giác \(OHA';\,\,OHC'\) vuông cân và \(\angle A'OC' = 90^\circ \)

Bước 1: Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(SH \bot \left( {SAC} \right),\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(SH \bot AC\) (do tam giác \(SAC\) cân tại \(S\)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\AH \subset \left( {SAC} \right),\,\,AH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right)\). Tương tự \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Bước 2:  Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BI\\SA \bot BH\,\,\left( {do\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot HI\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\BI \subset \left( {SAB} \right),\,\,BI \bot SA\\HI \subset \left( {SAC} \right),\,\,HI \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BI;HI} \right)\).

Bước 3:  Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Vì \(BH \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BH \bot HI\) \( \Rightarrow \Delta BHI\) vuông tại \(I\).

Do đó \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right) = \angle BHI\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 2a\) nên \(BH = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \), \(AC = AB\sqrt 2  = 2\sqrt 2 a\)

Ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  \)\(= \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}}  = a\).

\( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.AH}}{{SA}} = \dfrac{{a.\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 a}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\).

Xét tam giác vuông \(BHI\) có \(\tan \angle BIH = \dfrac{{BH}}{{IH}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}}} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \angle BIH = {60^0}\)

Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SAC) là \( {60^0}\)