Cực trị của hàm số

Ta có \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=3{{x}^{2}}-6x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}  x=0\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 0 \right)=2 \\  x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,2 \\ \end{align} \right..\)

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( 0;2 \right),\,\,B\left( 2;-\,2 \right).\)

Gọi \(M\in d\Rightarrow M\left( a;a-1 \right),\) khi đó \(\left\{ \begin{align}  MA=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}} \\  MB=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align} \right.\)

Mà \(M\) cách đều \(A,\,\,B\)

Suy ra \(M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}\)\(\Leftrightarrow \)\({{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}\)\(\Leftrightarrow \)\(a=1\,\,\Rightarrow \,\,M\left( 1;0 \right).\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn \(\left[ { - 3;\,\,3} \right],\) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \(\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1; - 3} \right);\,\,\left( {2;\,\,3} \right).\)

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm x=-2 và x=0 nên f'(-2)=0, f'(0)=0.

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( { - 4x + 4} \right)f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 4x + 4 = 0\\
f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0
\end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Do $f'\left( { - 2} \right) = 0,f'\left( 0 \right) = 0 $

$\Rightarrow f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- 2{x^2} + 4x = 0\\
- 2{x^2} + 4x = - 2
\end{array} \right.$

Do đó,

\((*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 4 = 0\\ - 2{x^2} + 4x =  - 2\\ - 2{x^2} + 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Do đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu qua 5 điểm trên.

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 5 điểm cực trị.

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là \( - 1;\,\,0;\,\,2;\,\,4\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 4 điểm cực trị.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT ta thấy \(f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = -1\\x =  3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm đơn \(x = 0,\,\,x = 2,\,\,x =   3,x=-1,x=1\)

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Xét hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) ta có: \(y' = 2x - 3 \Rightarrow y' = 0\) \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) với trục hoành ta có:

\({x^2} - 3x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x + 2\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

\( \Rightarrow \) Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\) là: \(S = 1 + 2 = 3\) cực trị.

Ta có:

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\\\,\,\,\,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x =  - 2\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right.\) (ta không xét \({x^2} - 2x = 0\) vì \(x = 0\) là nghiệm kép của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\) và qua các nghiệm này thì \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.

Chọn \(x = 4\) ta có \(g'\left( 4 \right) = 6f'\left( 8 \right) > 0\).

Khi đó ta có BXD của \(g'\left( x \right)\) như sau:

Điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là \({x_{CD}} = 1\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Bước 1: Tìm nghiệm của $f'(x)=0$

Ta có: \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\\x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 2: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

Trong đó: \(x =  - 2\) là nghiệm bội 2 nên \(x =  - 2\) không là điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Còn lại: \(x = 0;\,\,x =  - 1;\,\,x = 2\) là các nghiệm bội 1 của hàm số nên chúng là các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.

Bước 1: Tính \(f'\left( x \right)\).

Ta có:

$f\left( x \right) = {x^4}{\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3}{\left( {x - 1} \right)^2} + {x^4}.2\left( {x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {x - 1} \right) + x} \right]\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)$

Bước 2:  Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) xác định số nghiệm bội lẻ.

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) đã cho có 3 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm y' và y''.

Ta có: \(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2},\,\,y'' = 6x - 4m\).

Bước 2:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n\) có điểm cực tiểu là \(A\left( {1;3} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f''\left( 1 \right) > 0\\f\left( 1 \right) = 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 4m + {m^2} = 0\\6 - 4m > 0\\1 - 2m + {m^2} + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\\m < \dfrac{3}{2}\\n = 3 - {\left( {m - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 3\end{array} \right.\).

Vậy \(m + n = 1 + 3 = 4\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^{2021}}{\left( {x - 1} \right)^{2020}}\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,chan} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\end{array} \right.\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị \(x = 0,\,\,x =  - 1\).

Bảng xét dấu

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Bước 1: Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

Ta có:

\(f'\left( x \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,chan} \right)\\{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Bước 2: Lập BBT của hàm số từ đó xác định điểm cực tiểu của hàm số.

BBT:

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 1\).