Cực trị của hàm số

Ta có $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=3{{x}^{2}}-6x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}  x=0\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 0 \right)=2 \\  x=2\,\,\Rightarrow \,\,y\left( 2 \right)=-\,2 \\ \end{align} \right..$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( 0;2 \right),\,\,B\left( 2;-\,2 \right).$

Gọi $M\in d\Rightarrow M\left( a;a-1 \right),$ khi đó $\left\{ \begin{align}  MA=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}} \\  MB=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align} \right.$

Mà $M$ cách đều $A,\,\,B$

Suy ra $M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}$$\Leftrightarrow$${{a}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( a+1 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow$$a=1\,\,\Rightarrow \,\,M\left( 1;0 \right).$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thầy, trên đoạn $\left[ { - 3;\,\,3} \right],$ hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị là $\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\,\left( {1; - 3} \right);\,\,\left( {2;\,\,3} \right).$

Từ đồ thị ta thấy, hàm số f(x) đạt cực trị tại các điểm x=-2 và x=0 nên f'(-2)=0, f'(0)=0.

Ta có: $g'\left( x \right) = \left( { - 4x + 4} \right)f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right)$.

Cho $g'\left( x \right) = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 4 = 0\\ f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0 \end{array} \right.\,\,\,(*)$

Do $f'\left( { - 2} \right) = 0,f'\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow f'\left( { - 2{x^2} + 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{x^2} + 4x = 0\\ - 2{x^2} + 4x = - 2 \end{array} \right.$

Do đó,

$(*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4x + 4 = 0\\ - 2{x^2} + 4x =  - 2\\ - 2{x^2} + 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 \pm \sqrt 2 \\x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Các nghiệm này đều là nghiệm đơn.

Do đó $g'\left( x \right)$ đổi dấu qua 5 điểm trên.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta thấy $f'\left( x \right)$ có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đổi dấu khi đi qua 4 điểm có hoành độ là $- 1;\,\,0;\,\,2;\,\,4$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có 4 điểm cực trị.

Đặt $g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)$ ta có $g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.$.

Dựa vào BBT ta thấy $f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = -1\\x =  3\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Phương trình $g'\left( x \right) = 0$ có 5 nghiệm đơn $x = 0,\,\,x = 2,\,\,x =   3,x=-1,x=1$

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Xét hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ ta có: $y' = 2x - 3 \Rightarrow y' = 0$ $\Leftrightarrow 2x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ có 1 cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ với trục hoành ta có:

${x^2} - 3x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = {x^2} - 3x + 2$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

$\Rightarrow$ Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|$ là: $S = 1 + 2 = 3$ cực trị.

Ta có:

$\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\\\,\,\,\,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x =  - 2\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right.$ (ta không xét ${x^2} - 2x = 0$ vì $x = 0$ là nghiệm kép của phương trình $f'\left( x \right) = 0$).

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.$ và qua các nghiệm này thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu.

Chọn $x = 4$ ta có $g'\left( 4 \right) = 6f'\left( 8 \right) > 0$.

Khi đó ta có BXD của $g'\left( x \right)$ như sau:

Điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right)$ là ${x_{CD}} = 1$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy được, trong khoảng thời gian từ ngày 16/06/2021 đến ngày 27/01/2021, ngày 17/08/2020 có số người được điều trị Covid – 19 nhiều nhất là 492 người.

Bước 1: Tìm nghiệm của $f'(x)=0$

Ta có: $f'\left( x \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\\x + 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Bước 2: Xác định số nghiệm bội lẻ của phương trình $f'\left( x \right) = 0$.

Trong đó: $x =  - 2$ là nghiệm bội 2 nên $x =  - 2$ không là điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right).$

Còn lại: $x = 0;\,\,x =  - 1;\,\,x = 2$ là các nghiệm bội 1 của hàm số nên chúng là các điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right).$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị.

Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

Ta có:

$f\left( x \right) = {x^4}{\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3}{\left( {x - 1} \right)^2} + {x^4}.2\left( {x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {x - 1} \right) + x} \right]\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 2{x^3}\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)$

Bước 2:  Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$ xác định số nghiệm bội lẻ.

$\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ đã cho có 3 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm y' và y''.

Ta có: $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2},\,\,y'' = 6x - 4m$.

Bước 2:

Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n$ có điểm cực tiểu là $A\left( {1;3} \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f''\left( 1 \right) > 0\\f\left( 1 \right) = 3\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 4m + {m^2} = 0\\6 - 4m > 0\\1 - 2m + {m^2} + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\\m < \dfrac{3}{2}\\n = 3 - {\left( {m - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 3\end{array} \right.$.

Vậy $m + n = 1 + 3 = 4$.

Ta có $f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow {x^{2021}}{\left( {x - 1} \right)^{2020}}\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\\x = 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,chan} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\end{array} \right.$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị $x = 0,\,\,x =  - 1$.

Bảng xét dấu

$\Rightarrow$ Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Bước 1: Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$.

Ta có:

$f'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,chan} \right)\\{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\\x =  - 1\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,le} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$

Bước 2: Lập BBT của hàm số từ đó xác định điểm cực tiểu của hàm số.

BBT:

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x = 1$.