Tích phân

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {{{\sin }^4}xdx} \)

\(\begin{array}{l} = \int {{{\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)}^2}dx} \\ = \dfrac{1}{4}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {x - \sin 2x + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) + C\\ = \dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\end{array}\) 

Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}}\).

Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}}} \right)dx}  = \dfrac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\) (sử dụng MTCT).

Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\left( {6 - 3t} \right)dt}  = 6t - \dfrac{{3{t^2}}}{2} + C\).

Theo bài ra ta có: Ô tô đang đứng yên và bắt đầu chuyển động, do đó \(v\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow C = 0\).

Khi đó ta có \(v\left( t \right) = 6t - \dfrac{3}{2}{t^2}\), đây là một parabol có bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại \(t = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 6}}{{2.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)}} = 2\).

Vậy quãng đường ô tô đi được từ khi chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:

\(S = \int\limits_0^2 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^2 {\left( {6t - \dfrac{3}{2}{t^2}} \right)dt}  = 8\,\,\left( m \right).\)