Sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm

Đặt $x = \dfrac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\dfrac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x =  - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$

Và $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1}  = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}}  = {\sin ^3}t.\dfrac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.$

Khi đó $I = \int {{{\sin }^2}t.\cos t.\left( { - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t}  =  - \,\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  =  - \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$

Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}$

Khi đó $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {x{\rm{d}}x}  + \int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} $

Đặt $t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.$

Suy ra $\int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{t}}  = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.$

Do đó

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.\\ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.\end{array}$

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {x\sqrt {{x^2} - m} dx} \).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - m}  \Rightarrow {t^2} = {x^2} - m \Leftrightarrow tdt = xdx\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {t.tdt}  = \int {{t^2}dt}  = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - m} } \right)}^3}}}{3} + C\).

Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {\sqrt 2 } \right) = \dfrac{7}{3}\\F\left( {\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{{14}}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\\dfrac{{{{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)}^3}}}{3} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} = 7\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\left( {\sqrt {2 - m} } \right)}^3}}}{3} + C = \dfrac{7}{3}\\{\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( m \right) = {\left( {\sqrt {5 - m} } \right)^3} - {\left( {\sqrt {2 - m} } \right)^3} - 7\) với \(m \le 2\).

Ta có \(f'\left( m \right) =  - \dfrac{3}{2}\sqrt {5 - m}  + \dfrac{3}{2}\sqrt {2 - m}  = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt {2 - m}  - \sqrt {5 - m} } \right)\).

Vì \(2 - m < 5 - m\,\,\forall m \le 2\) \( \Rightarrow \sqrt {2 - m}  < \sqrt {5 - m} \,\,\forall m \le 2\), do đó \(f'\left( m \right) < 0\,\,\forall m \le 2\).

Suy ra hàm số \(f\left( m \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right]\).

Khi đó phương trình (*) có nhiều nhất 1 nghiệm, mà \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(m = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.